Question

【题目】如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60，且BQ=BP，连接CQ.

(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；

(2)若PA=3，PB=4，PC=5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由。

Answer 1

【答案】(1)猜想：AP=CQ，证明见解析；（2）△PQC是直角三角形，证明见解析.

【解析】试题分析：（1）根据条件用“SAS”可证明△ABP≌△CBQ，从而可得AP=CQ；（2）连接PQ．可证明△PBQ为等边三角形，得PQ=PB=4，然后根据勾股定理的逆定理可证△PQC为直角三角形，且∠PQC=90°．

试题解析：解：（1）AP=CQ，理由如下：因为△ABC是等边三角形，所以AB=BC，∠ABC=60°．因为∠PBQ=60°，所以∠ABP=∠CBQ=60°-∠PBC．在△ABP和△CBQ中，AB=CB，∠ABP=∠CBQ，BP=BQ，所以△ABP≌△CBQ，（SAS），所以AP=CQ；（2）连接PQ．因为BP=BQ，∠PBQ=60°，所以△PBQ是等边三角形，所以PQ=PB=4．又因为CQ=PA=3，PC=5，且，即，所以△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°．