题目内容
【题目】如图示，
是
的直径，点
是半圆上的一动点（不与
，
重合），弦
平分
，过点
作
交射线
于点.
（1）求证：
与相切：
（2）若
，
，求长；
（3）若，长记为
，
长记为
，求与之间的函数关系式，并求出
的最大值.
【答案】（1）详见解析；（2）4；（3）
【解析】
（1）首先连接
，通过半径和角平分线的性质进行等角转换，得出
，进而得出
，即可得证；
（2）首先连接
，得出
，进而得出
，再根据勾股定理得出DE；
（3）首先连接
，过点
作
，得出
，再得
，进而得出
，然后构建二次函数，即可得出其最大值.
（1）证明：连接
∵
∴
∵
平分
∴
∴
∴
∵
∴
又∵是
的半径
∴
与相切
（2）解：连接
∵AB为直径
∴∠ADB=90°
∵
∴
∴
∴
∴
中
（3）连接，过点作于
∵，DE⊥AE，AD=AD
∴
∴
，DE=DG
∴
∴
∴
即：
∴
∴
根据二次函数知识可知：当
时，
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