Question

已知：关于x的方程x²+2x-3m=0．
（1）若x=3是此方程的一个根，求m的值和另一根的值；
（2）当m满足什么条件时，方程有两个不相等的实数根．

Answer 1

解：（1）把x=3代入原方程得9+6-3m=0，
解得m=5，
则方程为x²+2x-15=0．
（x+5）（x-3）=0，
则x₁=-5，x₂=3，
故方程的另一个根为-5；

（2）a=1，b=2，c=-3m，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac＞0，
∴2²-4×1×（-3m）＞0，
解得m＞-，
∴当m＞-时，原方程有两个不相等的实数根．
分析：（1）根据一元二次方程的解的定义把x=3代入原方程得9+6-3m=0，然后解关于m的一次方程可得到m的值，则方程变为x²+2x-15=0，然后利用因式分解法科得到方程的另一个根为-5；
（2）根据根的判别式得到△=b²-4ac＞0，即2²-4×1×（-3m）＞0，然后解不等式即可．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解和解一元二次方程．