题目内容
【题目】操作发现:如图1,D是等边△ABC边BA上的一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方作等边△DCF,连接AF,易证AF=BD(不需要证明);
类比猜想:①如图2,当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时,其它作法与图1相同,猜想AF与BD在图1中的结论是否仍然成立。
深入探究:②如图3,当动点D在等边△ABC边BA上的一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′,连接AF,BF′你能发现AF,BF′与AB有何数量关系,并证明你发现的结论。
③如图4,当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时,其它作法与图3相同,猜想AF,BF′与AB在上题②中的结论是否仍然成立,若不成立,请给出你的结论并证明。
【答案】①成立,证明见详解;②AF+BF′=AB,证明见详解;③不成立,AF=AB+BF′,证明见详解.
【解析】
类比猜想:①通过证明△BCD≌△ACF,即可证明AF=BD;
深入探究:②AF+BF′=AB,利用全等三角形△BCD≌△ACF(SAS)的对应边BD=AF;同理△BCF′≌△ACD(SAS),则BF′=AD,所以AF+BF′=AB;
③结论不成立.新的结论是AF=AB+BF′;通过证明△BCF′≌△ACD(SAS),则BF′=AD(全等三角形的对应边相等);再结合(2)中的结论即可证得AF=AB+BF′.
解:类比猜想:①如图2中,
∵△ABC是等边三角形(已知),
∴BC=AC,∠BCA=60°(等边三角形的性质);
同理知,DC=CF,∠DCF=60°;
∴∠BCA+∠DCA=∠DCF+∠DCA,即∠BCD=∠ACF;
在△BCD和△ACF中,
∴△BCD≌△ACF(SAS),
∴BD=AF(全等三角形的对应边相等);
深入探究:②如图示
AF+BF′=AB;
证明如下:由①条件可知:∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA,即∠BCD=∠ACF,
∴同理可证△BCD≌△ACF(SAS),则BD=AF;
同理△BCF′≌△ACD(SAS),则BF′=AD,
∴AF+BF′=BD+AD=AB;
③结论不成立.新的结论是AF=AB+BF′;
如图示:
证明如下:
∵等边△DCF和等边△DCF′,由①同理可知:
在△BCF′和△ACD中,
∴△BCF′≌△ACD(SAS),
∴BF′=AD(全等三角形的对应边相等);
又由②知,AF=BD;
∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′,即AF=AB+BF′.