题目内容

【题目】操作发现:如图1D是等边△ABCBA上的一动点(D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方作等边△DCF,连接AF,易证AF=BD(不需要证明);

类比猜想:①如图2,当动点D运动至等边△ABCBA的延长线上时,其它作法与图1相同,猜想AFBD在图1中的结论是否仍然成立。

深入探究:②如图3,当动点D在等边△ABCBA上的一动点(D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′,连接AFBF′你能发现AFBF′AB有何数量关系,并证明你发现的结论。

③如图4,当动点D运动至等边△ABCBA的延长线上时,其它作法与图3相同,猜想AFBF′AB在上题②中的结论是否仍然成立,若不成立,请给出你的结论并证明。

【答案】①成立,证明见详解;②AF+BF′=AB,证明见详解;③不成立,AF=AB+BF′,证明见详解.

【解析】

类比猜想:①通过证明△BCD≌△ACF,即可证明AF=BD

深入探究:②AF+BF′=AB,利用全等三角形△BCD≌△ACFSAS)的对应边BD=AF;同理△BCF′≌△ACDSAS),则BF′=AD,所以AF+BF′=AB

③结论不成立.新的结论是AF=AB+BF′;通过证明△BCF′≌△ACDSAS),则BF′=AD(全等三角形的对应边相等);再结合(2)中的结论即可证得AF=AB+BF′

解:类比猜想:①如图2中,

∵△ABC是等边三角形(已知),
BC=AC,∠BCA=60°(等边三角形的性质);
同理知,DC=CF,∠DCF=60°
∴∠BCA+DCA=DCF+DCA,即∠BCD=ACF
在△BCD和△ACF中,

∴△BCD≌△ACFSAS),
BD=AF(全等三角形的对应边相等);

深入探究:②如图示

AF+BF′=AB
证明如下:由①条件可知:∠BCA-DCA=DCF-DCA,即∠BCD=ACF

∴同理可证△BCD≌△ACFSAS),则BD=AF
同理△BCF′≌△ACDSAS),则BF′=AD
AF+BF′=BD+AD=AB

③结论不成立.新的结论是AF=AB+BF′

如图示:


证明如下:

∵等边DCF和等边DCF′,由①同理可知:

在△BCF′和△ACD中,

∴△BCF′≌△ACDSAS),
BF′=AD(全等三角形的对应边相等);
又由②知,AF=BD
AF=BD=AB+AD=AB+BF′,即AF=AB+BF′

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