题目内容

如图，半圆的直径AB=2，点C从点A向点B沿着半圆运动，速度为每秒 $数学公式$ ，运动时间为t（秒），D是弧BC的中点，连接AD，BC相交于点E，连接BD．
（1）如果OC∥BD，求t的值及 $数学公式$ 的值；
（2）当t=3时，求 $数学公式$ 的值．

解：（1）∵OC∥DB，OB=OC，
∴∠DBC=∠C=∠CBA，
∴弧DC=弧AC，
又∵点D平分弧BC，
∴弧DC=弧AC=弧BD，
∴∠DBC=∠C=∠CBA=30°，
∴弧AC= $\text{[math]}$ ，
∴t= $\text{[math]}$ π÷ $\text{[math]}$ =2．
∵在Rt△ABD中，∠D=90°，AB=2，
∴DB=1，AD= $\text{[math]}$ ．
∵在Rt△BDE中，∠D=90°，BD=1，∠DBE=30°，
∴tan30°= $\text{[math]}$ ，
∴DE= $\text{[math]}$ ，
∴AE= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（2）解：

过点E作EF⊥AB于点F，
∵当t=3时，弧AC= $\text{[math]}$ ，∠ABC=45°，
∵EF⊥AB，
∴∠EFB=90°，
∴∠BEF=45°=∠CBA=∠CAB，
∵∠C=90°，
∴AC=BC= $\text{[math]}$ ，BF=EF=CE=2- $\text{[math]}$ ，EB= $\text{[math]}$ BF=2 $\text{[math]}$ -2，
∴AE²= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =8-4 $\text{[math]}$ ，
∵AB为直径，
∴∠C=∠D=90°，
∵∠AEC=∠BED，
∴△ACE∽△BDE，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴DB= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）求出∠DBC=∠C=∠CBA=30°，求出弧AC长，即可求出t，求出DB、AD、DE，AE，代入即可求出答案；
（2）过E作EF⊥AB于F，求出AC、BC，求出BF、EF，求出AE，证△ACE∽△BDE，得出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，推出DB= $\text{[math]}$ ，代入求出即可．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线性质，含30度角的直角三角形，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．