题目内容

如图,半圆的直径AB=10,点C在半圆上,BC=6.
(1)求弦AC的长;
(2)把△BCE沿BE折叠,使点C与直径AB上的P点重合,连结PC.求PE,PC的长.
分析:(1)由AB是半圆的直径,得到∠ACB=90°,而AB=10,BC=6,根据勾股定理即可计算出AC;
(2)先根据轴对称的性质得出∠EPB=∠ACB=90°,PE=CE,BP=BC=6.设PE=x,则EC=x,AE=8-x,AP=4,再证明△APE∽△ACB,根据相似三角形的对应边成比例求出PE=3,再证明△PEF∽△BEP,根据相似三角形的对应边成比例求出PF=
12
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解答:解:(1)∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
由勾股定理得,AC=8;

(2)∵把△BCE沿BE折叠,点C与直径AB上的P点重合,
∴△BCE≌△BPE,∠EPB=∠ACB=90°,PE=CE,BP=BC=6.
设PE=x,则EC=x,AE=8-x,AP=4.
∵在△APE与△ACB中,
∠A=∠A
∠APE=∠ACB=90°

∴△APE∽△ACB,
∴AP:AC=PE:CB,即4:8=x:6,
解得x=3,
∴PE=3,AE=5,BE=
BP2+PE2
=
62+32
=3
5

设PC与BE的交点为F.
∵P点C点关于BE对称,
∴BE是线段PC的垂直平分线,即BE⊥CP,PC=2PF.
∵在△PEF与△BEP中,
∠PEF=∠BEP
∠PFE=∠BPE=90°

∴△PEF∽△BEP,
∴PF:BP=PE:BE,即PF:6=3:3
5

解得PF=
6
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∴PC=2PF=
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故PE=3,PC=
12
5
5
点评:本题考查了圆周角定理,勾股定理,轴对称的性质,相似三角形的判定与性质,难度适中,根据两角对应相等的两三角形相似证明△APE∽△ACB及△PEF∽△BEP是解题的关键.
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