题目内容
【题目】如图1，对称轴为直线x= 
的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；
（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）解：由对称性得：A（﹣1，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），
把C（0，4）代入：4=﹣2a，
a=﹣2，
∴y=﹣2（x+1）（x﹣2），
∴抛物线的解析式为：y=﹣2x2+2x+4；
（2）解：如图1，设点P（m，﹣2m2+2m+4），过P作PD⊥x轴，垂足为D，
∴S=S梯形+S△PDB= 
m（﹣2m2+2m+4+4）+ （﹣2m2+2m+4）（2﹣m），
S=﹣2m2+4m+4=﹣2（m﹣1）2+6，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，则S大=6；
（3）解：存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形，
理由是：
分以下两种情况：
①当∠BQM=90°时，如图2：
∵∠CMQ＞90°，
∴只能CM=MQ．
设直线BC的解析式为：y=kx+b（k≠0），
把B（2，0）、C（0，4）代入得： 
，
解得： 
，
∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+4，
设M（m，﹣2m+4），
则MQ=﹣2m+4，OQ=m，BQ=2﹣m，
在Rt△OBC中，BC= 
= 
=2 
，
∵MQ∥OC，
∴△BMQ∽BCO，
∴ 
，即 
，
∴BM= （2﹣m）=2 ﹣ m，
∴CM=BC﹣BM=2 ﹣（2 ﹣ m）= m，
∵CM=MQ，
∴﹣2m+4= m，m= 
=4 ﹣8．
∴Q（4 ﹣8，0）．
②当∠QMB=90°时，如图3，
同理可设M（m，﹣2m+4），
过A作AE⊥BC，垂足为E，
∴∠EAB=∠OCB，
∴sin∠EAB= 
，
∴ 
，
∴BE= 
，
过E作EF⊥x轴于F，
sin∠CBO= 
，
∴ 
，
∴EF= 
，
由勾股定理得：BF= 
= 
，
∴OF=2﹣ = 
，
∴E（ ， ），
由A（﹣1，0）和E（ ， ）可得：
则AE的解析式为：y= x+ ，
则直线BC与直线AE的交点E（1.4，1.2），
设Q（﹣x，0）（x＞0），
∵AE∥QM，
∴△ABE∽△QBM，
∴ 
①，
由勾股定理得：x2+42=2×[m2+（﹣2m+4﹣4）2]②，
由以上两式得：m1=4（舍），m2= 
，
当m= 时，x= ，
∴Q（﹣ ，0）．
综上所述，Q点坐标为（4 ﹣8，0）或（﹣ ，0）．
【解析】（1）首先依据点A与点B关于x=对称求得点A的坐标，然后利用待定系数法求求得抛物线的解析式即可；
（2）设点P（m，﹣2m2+2m+4），过P作PD⊥x轴，垂足为D，然后得到S与m的函数关系式，接下来，依据二次函数的性质求得S的最大值即可；
（3）分为∠BQM=90°和∠QMB=90°两种情况画出图像，当∠BQM=90°时，先证明△BMQ∽BCO，然后再依据相似三角形的性质列方出求解即可；当∠QMB=90°时，过A作AE⊥BC，垂足为E，过E作EF⊥x轴于F，然后证明△ABE∽△QBM，然后再依据似三角形的性质列方出求解即可.
