题目内容
【题目】[建立模型]
(1)如图1．等腰
中， 
， 
，直线
经过点
，过点
作
于点
，过点
作
于点
，求证: 
；
[模型应用]
(2)如图2．已知直线
与
轴交于点，与
轴交于点，将直线
绕点逆时针旋转45'°至直线
，求直线的函数表达式:
(3)如图3，平面直角坐标系内有一点
，过点作
轴于点，BC⊥y
轴于点，点
是线段
上的动点，点是直线
上的动点且在第四象限内．试探究
能否成为等腰直角三角形?若能，求出点的坐标，若不能，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）直线l2的函数表达式为：y＝5x10；（3）点D的坐标为（
，
）或（4，7）或（
，
）．
【解析】
（1）由垂直的定义得∠ADC＝∠CEB＝90°，由同角的余角的相等得∠DAC＝∠ECB，然后利用角角边证明△BEC≌△CDA即可；
（2）过点B作BC⊥AB交AC于点C，CD⊥y轴交y轴于点D，由（1）可得△ABO≌△BCD（AAS），求出点C的坐标为（3，5），然后利用待定系数法求直线l2的解析式即可；
（3）分情况讨论：①若点P为直角时，②若点C为直角时，③若点D为直角时，分别建立（1）中全等三角形模型，表示出点D坐标，然后根据点D在直线y＝2x＋1上进行求解．
解：（1）∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠ECB＝∠ACD＋∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△CDA和△BEC中，
，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）过点B作BC⊥AB交AC于点C，CD⊥y轴交y轴于点D，如图2所示：
∵CD⊥y轴，
∴∠CDB＝∠BOA＝90°，
又∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
又∵∠BAC＝45°，
∴AB＝CB，
由[建立模型]可知：△ABO≌△BCD（AAS），
∴AO＝BD，BO＝CD，
又∵直线l1：
与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A、B的坐标分别为（2，0），（0，3），
∴AO＝2，BO＝3，
∴BD＝2，CD＝3，
∴点C的坐标为（3，5），
设l2的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0），
代入A、C两点坐标得：
解得：
，
∴直线l2的函数表达式为：y＝5x10；
（3）能成为等腰直角三角形，
①若点P为直角时，如图3-1所示，过点P作PM⊥OC于M，过点D作DH垂直于MP的延长线于H，
设点P的坐标为（3，m），则PB的长为4＋m，
∵∠CPD＝90°，CP＝PD，∠PMC＝∠DHP＝90°，
∴由[建立模型]可得：△MCP≌△HPD（AAS），
∴CM＝PH，PM＝DH，
∴PH＝CM＝PB＝4＋m，PM＝DH＝3，
∴点D的坐标为（7＋m，3＋m），
又∵点D在直线y＝2x＋1上，
∴2（7＋m）＋1＝3＋m，
解得：m＝
，
∴点D的坐标为（，）；
②若点C为直角时，如图3-2所示，过点D作DH⊥OC交OC于H，PM⊥OC于M，
设点P的坐标为（3，n），则PB的长为4＋n，
∵∠PCD＝90°，CP＝CD，∠PMC＝∠DHC＝90°，
由[建立模型]可得：△PCM≌△CDH（AAS），
∴PM＝CH，MC＝HD，
∴PM＝CH＝3，HD＝MC＝PB＝4＋n，
∴点D的坐标为（4＋n，7），
又∵点D在直线y＝2x＋1上，
∴2（4＋n）＋1＝7，
解得：n＝0，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，点D的坐标为（4，7）；
③若点D为直角时，如图3-3所示，过点D作DM⊥OC于M，延长PB交MD延长线于Q，则∠Q＝90°，
设点P的坐标为（3，k），则PB的长为4＋k，
∵∠PDC＝90°，PD＝CD，∠PQD＝∠DMC＝90°，
由[建立模型]可得：△CDM≌△DPQ（AAS），
∴MD＝PQ，MC＝DQ，
∴MC＝DQ＝BQ，
∴3－DQ＝4＋k＋DQ，
∴DQ＝
，
∴点D的坐标为（
，
），
又∵点D在直线y＝2x＋1上，
∴
，
解得：k＝，
∴点D的坐标为（，）；
综合所述，点D的坐标为（，）或（4，7）或（，）．
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【题目】为了迎接“炎帝故里寻根节”，某校开展了主题为“炎帝文化知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”“比较了解”“基本了解”“不太了解”四个等级，整理调查数据制成了下面的表格和如图所示的不完整的扇形统计图.
等级 | 非常了解 | 比较了解 | 基本了解 | 不太了解 |
频数 | 50 | m | 40 | 20 |
根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)本次问卷调查共抽取的学生人数为________，表中m的值为________；
(2)计算等级为“非常了解”的频数在扇形统计图中对应扇形的圆心角的度数，并补全扇形统计图；
(3)若该校有学生1 500人，请根据调查结果估计这些学生中“不太了解”炎帝文化知识的人数约为多少？
