Question

抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点D，顶点为C
（1）求A、B、C、D各点坐标；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积是△ABC的面积的2倍？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵y=-x²+2x+3=-（x+1）（x-3）=-（x-1）²+4，
∴A（-1，0）、B（3，0）、C（1，4）、D（0，3）．

（2）过C作CE⊥x轴，垂足为E；
由（1）知：OA=1、OD=3、CE=4、OE=1、BE=2；
S_{四边形ABCD}=S_△AOD+S_△BCE+S_梯形ODCE
=

1

2

×1×3+

1

2

×2×4+

1

2

×（3+4）×1=9．

（3）由于CE=4，即点C到x轴的距离为4；
若S_△PAB=2S_△ABC，则点P到x轴的距离为8，
设P（x，-8），依题意，有：
-x²+2x+3=-8，
化简得：x²-2x-11=0
解得：x=1±2

3

；
即：P（1±2

3

，-8）．