题目内容
【题目】已知二次函数y=ax2的图象经过点（2，1）．
（1）求二次函数y=ax2的解析式；
（2）一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A（x1、y1）、B（x2、y2）两点．
①当m=
时（图①），求证：△AOB为直角三角形；
②试判断当m≠时（图②），△AOB的形状，并证明； n>S扇形DOE求得即可．
（3）根据第2问，说出一条你能得到的结论．（不要求证明）
【答案】
（1）
【解答】（1）解：∵y=ax2过点（2，1），
∴1=4a，解得a=
，
∴抛物线解析式为y=x2；
（2）
①证明：
当m=
时，联立直线和抛物线解析式可得
，解得
或
，
∴A（﹣2，1），B（8，16），
分别过A、B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C、D，如图1，
∴AC=1，OC=2，OD=8，BD=16，
∴
，且∠ACO=∠ODB，
∴△ACO∽△ODB，
∴∠AOC=∠OBD，
又∵∠OBD+∠BOD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，即∠AOB=90°，
∴△AOB为直角三角形；
②解：△AOB为直角三角形．
证明如下：
当m≠时，联立直线和抛物线解析式可得
，解得
或
，
∴A（2m﹣2
，（m﹣）2），B（2m+2，（m+）2），
分别过A、B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，如图2，
∴AC=（m﹣）2，OC=﹣（2m﹣2），BD=（m+）2，OD=2m+2，
∴
，且∠ACO=∠ODB，
∴△ACO∽△OBD，
∴∠AOC=∠OBD，
又∵∠OBD+∠BOD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，即∠AOB=90°，
∴△AOB为直角三角形；
（3）
解：由2可知，一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的交点为A、B，则△AOB恒为直角三角形．（答案不唯一）．
【解析】（1）把点（2，1）代入可求得a的值，可求得抛物线的解析式；
（2）①可先求得A、B两点的坐标，过A、B两点作x轴的垂线，结合条件可证明△ACO∽△ODB，可证明∠AOB=90°，可判定△AOB为直角三角形；②可用m分别表示出A、B两点的坐标，过A、B两点作x轴的垂线，表示出AC、BD的长，可证明△ACO∽△ODB，结合条件可得到∠AOB=90°，可判定△AOB为直角三角形；
（3）结合（2）的过程可得到△AOB恒为直角三角形等结论．
