题目内容
【题目】已知抛物线F:y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O,且与x轴另一交点为(,0).
(1)求抛物线F的解析式;
(2)如图1,直线l:yx+m(m>0)与抛物线F相交于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)(点A在第二象限),求y2﹣y1的值(用含m的式子表示);
(3)在(2)中,若m,设点A′是点A关于原点O的对称点,如图2.
①判断△AA′B的形状,并说明理由;
②平面内是否存在点P,使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2x;(2)y2﹣y1=
(m>0);(3)①等边三角形;②点P的坐标为(2
)、(
)和(
,﹣2).
【解析】
(1) 根据点的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(2) 将直线l的解析式代入抛物线F的解析式中, 可求出x1、x2的值, 利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2的值, 做差后即可得出y2-y1的值;
(3) 根据m的值可得出点A、B的坐标, 利用对称性求出点A′的坐标 .
①分别求出AB、AA′、A′B的值, 由三者相等即可得出△AA′B为等边三角形;
②根据等边三角形的性质结合菱形的性质, 可得出存在符合题意得点P,设点P的坐标为(x,y),分A′B为对角线或AB为对角线或AA′为对角线三种情况分别讨论即可得.
(1)∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点(0,0)和(,0),
∴,解得:
,
∴抛物线F的解析式为y=x2x;
(2)将yx+m代入y=x2
x,得:x2=m,
解得:x1,x2
,
∴y1m,y2
m,
∴y2﹣y1=(m)﹣(
m)
(m>0);
(3)∵m,∴点A的坐标为(
),点B的坐标为(
,2),
∵点A′是点A关于原点O的对称点,∴点A′的坐标为();
①△AA′B为等边三角形,理由如下:
∵A(),B(
,2),A′(
),
∴AA′=
,
AB=
,
A′B=
,
∴AA′=AB=A′B,
∴△AA′B为等边三角形;
②∵△AA′B为等边三角形,
∴存在符合题意的点P,且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况,
设点P的坐标为(x,y).
(i)当A′B为对角线时,有,解得:
,
∴点P的坐标为(2);
(ii)当AB为对角线时,有,解得:
,
∴点P的坐标为();
(iii)当AA′为对角线时,有,解得:
,
∴点P的坐标为(,﹣2).
综上所述:平面内存在点P,使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形,点P的坐标为(2)、(
)和(
,﹣2).

【题目】“每天锻炼一小时,健康生活一辈子”.为了选拔“阳光大课间”领操员,学校组织初中三个年级推选出来的15名领操员进行比赛,成绩如下表:
成绩/分 | 7 | 8 | 9 | 10 |
人数/人 | 2 | 5 | 4 | 4 |
(1)这组数据的众数是多少,中位数是多少.
(2)已知获得2018年四川省南充市的选手中,七、八、九年级分别有1人、2人、1人,学校准备从中随机抽取两人领操,求恰好抽到八年级两名领操员的概率.