题目内容

【题目】已知抛物线Fyx2+bx+c的图象经过坐标原点O,且与x轴另一交点为(0).

1)求抛物线F的解析式;

2)如图1,直线lyx+mm0)与抛物线F相交于点Ax1y1)和点Bx2y2)(点A在第二象限),求y2y1的值(用含m的式子表示);

3)在(2)中,若m,设点A′是点A关于原点O的对称点,如图2

判断AAB的形状,并说明理由;

平面内是否存在点P,使得以点ABA′、P为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1yx2x;(2y2y1m0);(3)①等边三角形;②点P的坐标为(2)、()和(,﹣2).

【解析】

(1) 根据点的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;

(2) 将直线l的解析式代入抛物线F的解析式中, 可求出x1x2的值, 利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1y2的值, 做差后即可得出y2-y1的值;

(3) 根据m的值可得出点AB的坐标, 利用对称性求出点A′的坐标

①分别求出ABAA′、A′B的值, 由三者相等即可得出△AA′B为等边三角形;

②根据等边三角形的性质结合菱形的性质, 可得出存在符合题意得点P,设点P的坐标为(xy),分AB为对角线或AB为对角线或AA′为对角线三种情况分别讨论即可得.

(1)∵抛物线yx2+bx+c的图象经过点(00)(0)

,解得:

∴抛物线F的解析式为yx2x

(2)yx+m代入yx2x,得:x2m

解得:x1x2

y1my2m

y2y1(m)(m)(m0)

(3)m,∴点A的坐标为(),点B的坐标为(2)

∵点A′是点A关于原点O的对称点,∴点A′的坐标为()

①△AA′B为等边三角形,理由如下:

A()B(2),A′()

∴AA′=

AB=

A′B=

∴AA′=AB=A′B,

∴△AA′B为等边三角形;

②∵△AA′B为等边三角形,

∴存在符合题意的点P,且以点AB、A′、P为顶点的菱形分三种情况,

设点P的坐标为(xy)

(i)当A′B为对角线时,有,解得:

∴点P的坐标为(2)

(ii)AB为对角线时,有,解得:

∴点P的坐标为()

(iii)当AA′为对角线时,有,解得:

∴点P的坐标为(,﹣2)

综上所述:平面内存在点P,使得以点AB、A′、P为顶点的四边形是菱形,点P的坐标为(2)()(,﹣2)

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