题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与抛物线
交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为
．动点P在抛物线上运动（不与点A、B重合），过点P作y轴的平行线，交直线AB于点Q．当PQ不与y轴重合时，以PQ为边作正方形PQMN，使MN与y轴在PQ的同侧，连结PM．设点P的横坐标为m．
（1）求b、c的值．
（2）当点N落在直线AB上时，直接写出m的取值范围．
（3）当点P在A、B两点之间的抛物线上运动时，设正方形PQMN的周长为C，求C与m之间的函数关系式，并写出C随m增大而增大时m的取值范围．
（4）当△PQM与坐标轴有2个公共点时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）
， 
；（2）m＜﹣
或0＜m＜3；（3）C=﹣2（m﹣
）2+
，﹣
＜m＜
且m≠0；（4）m＜﹣
.
【解析】试题分析：（1）先确定出点A，B的坐标，最后用待定系数法即可得出结论。
（2）点P在抛物线上，点Q在直线y=﹣x+3上，点N在直线AB上，设出点P的坐标，再表示出Q、N的坐标，即可得出PN=PQ，再用MN与y轴在PQ的同侧，建立不等式即可得出结论。
（3）点P在点A，B之间的抛物线上，根据（2）可知PQ的长，设正方形PQMN的周长为C，根据C=4PQ，建立C与m的函数关系式，求出其顶点坐标，根据二次函数的性质，即可求得结论。
（4）分两种情况讨论计算即可求出结论。
（1）解：∵直线y=﹣x+3与x轴相交于点A，
∴A（3，0），
∵点B在直线y=﹣x+3上，且B的横坐标为﹣ 
，
∴B（﹣ ， 
），
∵A，B在抛物线上，
∴ 
，
∴ 
（2）解：方法1、由（1）知，b= ，c= 
，
∴抛物线的解析式为y=﹣ 
x2+ x+ ，
设P（m，﹣ m2+ m+ ），
∵点Q在直线y=﹣x+3上，
∴Q（m，﹣m+3），
∵点N在直线AB上，
∴N（（ m2﹣ m﹣ ），（﹣ m2+ m+ ）），
∴PN=| m2﹣ m﹣ ﹣m|=| m2﹣ 
m﹣ |
∴PQ=|﹣ m2+ m+ ﹣（﹣m+3）|=|﹣ m2+ m+ |，
∵四边形PQMN时正方形，
∴PN=PQ，
∴| m2﹣ m﹣ |=|﹣ m2+ m+ |，此时等式恒成立，
当m＜0且m≠﹣ 时，
∵MN与y轴在PQ的同侧，
∴点N在点P右侧，
∴ m2﹣ m﹣ ＞m，
∴m＜﹣ ，
当m＞0且m≠3时，
∵MN与y轴在PQ的同侧，
∴点P在点N的右侧，
∴ m2﹣ m﹣ ＜m，
∴﹣ ＜m＜3，
∴0＜m＜3，
即：m的范围为m＜﹣ 或0＜m＜3；
方法2、如图，
记直线AB与y轴的交点为D，
∵直线AB的解析式为y=﹣x+3，
∴D（0，3），
∴OD=3，
∵A（3，0），
∴OA=3，
∴OA=OB，
∴∠ODA=45°，
∵PQ∥y轴，
∴∠PQB=45°，
记：直线PN交直线AB于N'，
∵四边形PQMN是正方形，
∴∠QPN=90°，
∴∠PN'Q=45°=∠PQN'，
∴PQ=PN'，
∵四边形PQMN是正方形，
∴PQ=PN，
点N在点P的左侧时，点N'都在直线AB上，
∵MN与y轴在PQ的同侧，
∴m的范围为m＜﹣ 或0＜m＜3
（3）解：由（1）知，b= ，c= ，
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+ ，
设P（m，﹣ m2+ m+ ），
∵点Q在直线y=﹣x+3上，
∴Q（m，﹣m+3），
∴PQ=|﹣ m2+ m+ ﹣（﹣m+3）|=|﹣ m2+ m+ |，
∵点P在点A，B之间的抛物线上，
∴PQ=﹣ m2+ m+ ，（﹣ ＜m＜3且m≠0），
∵设正方形PQMN的周长为C，
∴C=4PQ=4（﹣ m2+ m+ ）=﹣2m2+ 
m+2=﹣2（m﹣ ）2+ 
，
∵C随m增大而增大，
∴m＜ ，
∴﹣ ＜m＜ 且m≠0
（4）解：当△PQM与坐标轴有2个公共点时，
∴m＜0或0＜m＜3
当0＜m＜3，PN＞yP ，
由（2）知，P（m，﹣ m2+ m+ ），PQ=|﹣ m2+ m+ |=﹣ m2+ m+
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN=PQ=﹣ m2+ m+ ＞﹣ m2+ m+ ，
∴m＞3，所以，此种情况不符合题意；
当m＜0时，PN＞yP ，
∵PQ= m2﹣ m﹣ 
，
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN=PQ= m2﹣ m﹣ ＞﹣ m2+ m+ ，
∴m＞3（舍）或m＜﹣ ，
即：当△PQM与坐标轴有2个公共点时，m＜﹣ .
