题目内容
【题目】（如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连接EP．
⑴如图②，若M为AD边的中点，①△AEM的周长=_________cm；②求证：EP=AE+DP；
⑵随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．
【答案】（1）①6 ②见解析（2）△PDM的周长保持不变，理由见解析
【解析】
（1）①由折叠知BE=EM,AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM,根据边长及中点易求周长；②取EP中点G，连接MG，再根据梯形中位线与三角形中位线解答即可；（2）不变化，可证△AEM∽△DMP，两个三角形的周长比为AE：MD，设AM=x，根据勾股定理可以用x表示MD的长与△MAE的周长，再根据周长比等于相似比，即可求解.
（1）①由折叠可知，BE=BM,∠B=∠MEP=90°，
△AEM的周长= AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM.
∵AB=4，M是AD中点，
∴△AEM的周长=6（cm）
②证明：取EP中点G，连接MG，在梯形AEPD中
∵M、G分别为AD、EP的中点
∴
由折叠，得∠EMP=∠B=90°
又G为EP的中点
∴MG=
EP
∴EP="AE+DP"
(2)△PDM的周长保持不变
证明：设AM=xcm，则DM=（4－x）cm
Rt△EAM中，由
∵∠AME+∠AEM=90°
∠AME+∠PMD=90°
∴∠AEM=∠PMD
又∵∠A=∠D=90°
∴△PDM∽△MAE
∴
即
∴
∴△PDM的周长保持不变．
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