题目内容
【题目】如图1,在平面直角坐标系,O为坐标原点,点A(﹣2,0),点B(0,2).
(1)直接写求∠BAO的度数;
(2)如图1,将△AOB绕点O顺时针得△A′OB′,当A′恰好落在AB边上时,设△AB′O的面积为S1,△BA′O的面积为S2,S1与S2有何关系?为什么?
(3)若将△AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置,S1与S2的关系发生变化了吗?证明你的判断.
【答案】(1)∠BAO=60°;(2)S1=S2;理由见解析;(3)S1=S2不发生变化;证明见解析.
【解析】
(1)先求出OA,OB,再用锐角三角函数即可得出结论;
(2)根据旋转的性质和直角三角形的性质可证得OA'=AA'=AO=A'B,然后根据等边△AOA'的边AO、AA'上的高相等,即可得到S1=S2;
(3)根据旋转的性质可得BO=OB',AA'=OA',再求出∠AON=∠A'OM,然后利用“角角边”证明△AON和△A'OM全等,根据全等三角形对应边相等可得AN=A'M,然后利用等底等高的三角形的面积相等证明.
解:(1)∵A(2,0),B(0,),
∴OA=2,OB=,
在Rt△AOB中,tan∠BAO=,
∴∠BAO=60°;
(2)S1=S2;
理由:∵∠BAO=60°,∠AOB=90°,
∴∠ABO=30°,
∴OA'=OA=AB,△AOA'是等边三角形,
∴OA'=AA'=AO=A'B,
∵∠B'A'O=60°,∠A'OA=60°,
∴B'A'∥AO,
根据等边三角形的性质可得,△AOA'的边AO、AA'上的高相等,即△AB′O中AO边上高和△BA′O中BA′边上的高相等,
∴△BA'O的面积和△AB'O的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),
即S1=S2;
(3)S1=S2不发生变化;
理由:如图,过点A'作A'M⊥OB.过点A作AN⊥OB'交B'O的延长线于N,
∵△A'B'O是由△ABO绕点O旋转得到,
∴BO=OB',AO=OA',
∵∠AON+∠BON=90°,∠A'OM+∠BON=90°,
∴∠AON=∠A'OM,
在△AON和△A'OM中,,
∴△AON≌△A'OM(AAS),
∴AN=A'M,
∴△BOA'的面积和△AB'O的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),
即S1=S2.