题目内容
【题目】如图，在△ABC 中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在线段 BC上，联接AD交线段PQ于点E，且 
= 
，点G在BC延长线上，∠ACG的平分线交直线PQ于点F． 
（1）求证：PC=PE；
（2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形．
【答案】
（1）证明：∵PQ∥BC，
∴△AQE∽△ABD，△AEP∽△ADC，
∴ 
= 
， 
，
∴ 
= ，
∵ 
= ，
∴ = ，
∴PC=PE；
（2）解：∵PF∥DG，
∴∠PFC=∠FCG，
∵CF平分∠PCG，
∴∠PCF=∠FCG，
∴∠PFC=∠FCG，
∴PF=PC，
∴PF=PE，
∵P是边AC的中点，
∴AP=CP，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵PQ∥CD，
∴∠PEC=∠DCE，
∴∠PCE=∠DCE，
∴∠PCE+∠PCF= 
（∠PCD+∠PCG）=90°，
∴∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【解析】（1）根据相似三角形的性质得到 = ， ，等量代换得到 = ，推出 = ，于是得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠PFC=∠FCG，根据角平分线的性质得到∠PCF=∠FCG，等量代换得到∠PFC=∠FCG，根据等腰三角形的性质得到PF=PC，得到PF=PE，由已知条件得到AP=CP，推出四边形AECF是平行四边形，于是得到结论．
【考点精析】关于本题考查的矩形的判定方法和相似三角形的判定与性质，需要了解有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；两条对角线相等的平行四边形是矩形；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．
