题目内容
【题目】材料一:把一个自然数的个位数字截去,再用余下的数减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除.如果差太大不易看出是否7的倍数,可重复上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断392是否7的倍数的过程如下:,,所以,392是7的倍数;又例如判断8638是否7的倍数的过程如下:,,,所以,8638是7的倍数.
材料二:若一个四位自然数n满足千位与个位相同,百位与十位相同,我们称这个数为“对称数”.将“对称数”n的前两位与后两位交换位置得到一个新的“对称数”,记,例如.
(1)请用材料一的方法判断6909与367能不能被7整除;
(2)若m、p是“对称数”,其中,(,且a,b,c均为整数),若m能被7整除,且,求p.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)根据能被7整除的数的特征即可求解;
(2)m能被7整除,根据材料一可知:能被7整除,
即可求出,根据,进而求出,表示出根据,得到,分类讨论即可.
(1) ,,,所以,6909是7的倍数;
,,所以,367不是7的倍数;
(2) m能被7整除
∴能被7整除
∴,∴
∴
当时,,,
当时,,,
∴
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