Question

如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，直线L与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．

（1）求抛物线的解析式及直线AC的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)抛物线的解析式y=x²-2x-3，直线AC的函数解析式是y=-x-1；（2）PE的最大值=；
（3）F点的坐标是（-3，0），（1，0），（4-，0），（4+，0）.

试题分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将C点横坐标代入抛物线的解析式中，即可求出C点的坐标，再由待定系数法可求出直线AC的解析式．
（2）PE的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点的横坐标为x，用x分别表示出P、E的纵坐标，即可得到关于PE的长、x的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得PE的最大值．
（3）此题要分两种情况：①以AC为边，②以AC为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F点的坐标．
试题解析：解：（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=x²+bx+c，得b=-2，c=-3；
∴y=x²-2x-3．
将C点的横坐标x=2代入y=x²-2x-3，得y=-3，
∴C（2，-3）；
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1．
（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2），
则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（x，x²-2x-3）；
∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x²-2x-3）=-x²+x+2，
∴当x=时，PE的最大值=．
（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（-3，0），F3（4+，0），F4（4-，0）．
①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，
∵C（2，-3），G（0，-3）
∴CG∥X轴，此时AF=CG=2，
∴F点的坐标是（-3，0）；

②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）；

③如图，此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1±，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=-x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+，0）；
④如图，同③可求出F的坐标为（4-，0）；

综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点