题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（b，-2a）．且
+|b-l|=0．CD∥AB，AD∥BC
（1）直接写出B、C、D各点的坐标：B 、C 、D ；
（2）如图1，P（3，10），点E，M在四边形ABCD的边上，且E在第二象限．若△PEM是以PE为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标，并对其中一种情况计算说明；
（3）如图2，F为y轴正半轴上一动点，过F的直线j∥x轴，BH平分∠FBA交直线j于点H．G为BF上的点，且∠HGF=∠FAB，F在运动中FG的长度是否发生变化？若变化，求出变化范围；若不变，求出定值．
【答案】（1）（1，0），（1，8），（-4，8）；（2）点E坐标（-1，8）或（-4，7）；（3）不发生变化.
【解析】
（1）根据题意可求a=-4，b=1，可得A，B，C三点坐标，由题意可证四边形ABCD是矩形，可求CD=AB=5，AD=BC=8，即可求点D坐标；
（2）分点E在CD上，点EAD上讨论，通过等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质，可求点E坐标；
（3）点H作HR⊥BF于点R，通过证△HFR≌△FBO和△HRG≌△FOA，可得RF=1，RG=4，即可求FG=3，则点F在运动中FG的长度不发生变化．
（1）∵
+|b-l|=0，
∴b=1，a=-4，
∴A（-4，0），B（1，0），C（1，8），
∴BC⊥AB，AB=5，BC=8，
∵CD∥AB，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，且BC⊥AB
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，CD=AB=5
∴D（-4，8）
（2）如图，若点E在CD上时，过点E作EN∥y轴，过点M作MN⊥EN于N，过点P作PH⊥EN于点H，
∵∠PEH+∠HPE=90°，∠PEH+∠MEN=90°，
∴∠MEN=∠HPE，且PE=EM，∠PHE=∠MNE=90°，
∴△PHE≌△ENM（AAS）
∴PH=EN，HE=MN=2，
∵CE⊥EN，MN⊥EN，∠DCB=90°，
∴四边形MNEC是矩形，
∴CE=MN=2，且点C（1，8）
∴点E坐标（-1，8）
如图，若点E在AD上，过点P作PH⊥AD，交AD的延长线于H，
∵∠PEH+∠AEM=90°，∠PEH+∠HPE=90°
∴∠HPE=∠AEM，且PE=EM，∠PHE=∠EAM=90°
∴△PHE≌△EAM（AAS）
∴AE=PH=7
∴点E坐标（-4，7）
（3）不发生变化，
如图，过点H作HR⊥BF于点R，
∵BH平分∠ABF，
∴∠FBH=∠ABH，
∵FH∥AB，
∴∠FHB=∠ABH，∠HFR=∠ABF，
∴∠FHB=∠FBH，
∴HF=FB，且∠HFR=∠ABF，∠FOB=∠HRF，
∴△HFR≌△FBO（AAS）
∴RF=OB=1，HR=FO，
∵∠HGF=∠FAB，HR=FO，∠HRG=∠AOF=90°，
∴△HRG≌△FOA（AAS），
∴RG=AO=4，
∴FG=RG-RF=4-1=3，
∴点F在运动中FG的长度不发生变化．
