Question

已知：关于x的方程mx²-14x-7=0有两个实数根x₁，x₂，和关于y的方程y²-2（n+1）y+n²+2n=0有两个实数根y₁和y₂，且-2≤y₁＜y₂≤4
①用含m的代数式

2

x1+x2

-

6

x1x2

；
②用含n的代数式表示2（2y₁-y₂²）+14，并求n的取值范围；
③当

2

x1+x2

-

6

x1x2

=2（2y₁-y₂²）+14时，求m的取值范围．

Answer 1

分析：①先找出方程mx²-14x-7=0中的a，b及c的值，利用根与系数关系求出两根之和与两根之积，代入所求的代数式中化简可得；
②利用因式分解的方法求出方程y²-2（n+1）y+n²+2n=0的两解，根据两解y₁与y₂的范围，确定出y₁与y₂的值，代入所求的代数式可用n表示出来，且根据y₁与y₂的范围列出不等式，可得n的范围；
③由方程mx²-14x-7=0有解，可得根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集可得m的范围；再由第一问和第二问所表示出式子代入所求的等式中，化简可得m与n的二次函数关系式，由自变量n的范围，根据二次函数的图象可得函数值m的范围，求出两个m范围的公共部分可得满足题意m的范围．

解答：解：①∵mx²-14x-7=0，
∴a=m，b=-14，c=-7，
∴x₁+x₂=-

b

a

=

14

m

，x₁x₂=-

7

m

，
则

2

x1+x2

-

6

x1x2

=

m

7

+

6m

7

=m；

②∵方程y²-2（n+1）y+n²+2n=0有两个实数根，则△=4（n+1）²-4（n²+2n）=4＞0，
分解因式得，[y-（n+2）]（y-n）=0，
∴y₁=n，y₂=n+2，
∴2（2y₁-y₂²）+14=2[2n-（n+2）²]+14=-2n²-4n+6，
∵-2≤y₁＜y₂≤4，
∴-2≤n＜n+2≤4，
解得：-2≤n≤2；

③∵方程mx²-14x-7=0有两个实数根，则△=196+28m≥0，
∴m≥-7，且m≠0，（i）
∵x₁+x₂=

14

m

，x₁x₂=-

7

m

，
由①得y₁=n-2，y₂=n，
所以

2

x1+x2

-

6

x1x2

=2（2y₁-y₂²）+14变形为

m

7

+

6m

7

=2[2n-（n+2）²]+14，
化简得，m=-2n²-4n+6．
画出m关于n的二次函数图象，如图所示：
由二次函数的图象知，
当-2≤n≤2时，-10≤m≤8，（ii）
由（i）和（ii）得：-7≤m≤8且m≠0．

点评：此题考查了根与系数的关系，解字母系数的一元二次方程，以及二次函数的图象与性质，学生在利用根与系数关系时，前提必须方程有解（b²-4ac≥0），然后可得x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，本题的难点是第三问求m的范围，方法是根据m与n成二次函数关系，由自变量n的范围，借助二次函数的图象，利用数形结合的思想，观察图象可得函数值m在自变量n范围中所对应的最值，进而得到m的范围．