Question

在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx²+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求点A的坐标；
（2）当∠ABC=45°时，求m的值；
（3）已知一次函数y=kx+b，点P（n，0）是x轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y=mx²+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的图象于N．若只有当﹣2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式．＝＝

Answer 1

点A的坐标为（﹣1，0）；m=1；y=﹣2x+1

试题分析：
解：（1）∵点A、B是二次函数y=mx²+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的图象与x轴的交点，
∴令y=0，即mx²+（m﹣3）x﹣3=0
解得x₁=﹣1，
又∵点A在点B左侧且m＞0
∴点A的坐标为（﹣1，0）
（2）由（1）可知点B的坐标为
∵二次函数的图象与y轴交于点C
∴点C的坐标为（0，﹣3）
∵∠ABC=45°
∴∴m=1
（3）由（2）得，二次函数解析式为y=x²﹣2x﹣3
依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为﹣2和2，
由此可得交点坐标为（﹣2，5）和（2，﹣3），将交点坐标分别代入一次函数解析式y=kx+b中，
得解得：∴一次函数解析式为y=﹣2x+1

点评：本题难度较大，主要考查学生对函数性质和图像特点等知识点的掌握。为中考常见题型，把两种函数性质综合分析与运算，学生要牢固掌握各项性质特点，并运用到考试中去。