题目内容
如图,已知A(﹣4,0),B(0,4),现以A点为位似中心,相似比为9:4,将OB向右侧放大,B点的对应点为C.
(1)求C点坐标及直线BC的解析式;
(2)一抛物线经过B、C两点,且顶点落在x轴正半轴上,求该抛物线的解析式并画出函数图象;
(3)现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P,请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P.
(1)求C点坐标及直线BC的解析式;
(2)一抛物线经过B、C两点,且顶点落在x轴正半轴上,求该抛物线的解析式并画出函数图象;
(3)现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P,请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P.
(1)C,所以y=x+4;(2);(3),,,.
试题分析:(1)利用相似及相似比,可得到C的坐标.把A,B代入一次函数解析式即可求得解析式的坐标.
(2)顶点落在x轴正半轴上说明此函数解析式与x轴有一个交点,那么△=0,再把B,C两点即可.
(3)到直线AB的距离为的直线有两条,可求出这两条直线解析式,和二次函数解析式组成方程组,求得点P坐标.
(1)过C点向x轴作垂线,垂足为D,
由位似图形性质可知:△ABO∽△ACD,
∴.
由已知,可知:.
∴.
∴C点坐标为.
设直线BC的解析式为: y=kx+4,将(5,9)代入得5k+4=9,解得k=1.
所以y=x+4.
(2)因为抛物线顶点在x轴正半轴,所以设顶点坐标为(h,0),则设抛物线解析式为y=a(x-h)2.
将(0,4),(5,9)代入函数解析式得,解得或者.
∴解得抛物线解析式为或.
又∵的顶点在x轴负半轴上,不合题意,故舍去.
∴满足条件的抛物线解析式为
(准确画出函数图象)
(3)将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P,设P到 直线AB的距离为h,
故P点应在与直线AB平行,且相距的上下两条平行直线和上.
由平行线的性质可得:两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为.
设与y轴交于E点,过E作EF⊥BC于F点,
在Rt△BEF中,,
∴.
∴可以求得直线与y轴交点坐标为
同理可求得直线与y轴交点坐标为
∴两直线解析式;.
根据题意列出方程组:(1);(2)
∴解得:;;;
∴满足条件的点P有四个,它们分别是,,,.
点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型.
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