题目内容
【题目】如图,在以AB为直径的半圆中,将弧BC沿弦BC折叠交AB于点D,若AD=5,DB=7.
(1)求BC的长;
(2)求圆心到BC的距离.
【答案】(1);(2)圆心到BC的距离为
.
【解析】(1)根据折叠的性质知:;若连接CD、AC,则∠DBC+∠BCD=∠CAD,即∠CAD=∠CDA;过C作AB的垂线,设垂足为E,则DE=
AD,由此可求出BE的长,进而可在Rt△ABC中,根据射影定理求出BC的长.
(2)设圆心到BC的距离为h,利用勾股定理解答即可.
(1)连接CA、CD;
根据折叠的性质,得:;
∴∠CAB=∠CBD+∠BCD;
∵∠CDA=∠CBD+∠BCD(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
∴∠CAD=∠CDA,即△CAD是等腰三角形;
过C作CE⊥AB于E,则AE=DE=2.5;
∴BE=BD+DE=9.5;
在Rt△ACB中,CE⊥AB,根据射影定理,得:
BC2=BEAB=9.5×12=114;
故BC=.
(2)设圆心到BC的距离为h,圆的半径为r=6,
由(1)知,Rt△ECB中,BE=9.5,BC=,
∴,
∵sin=,
∴h=,
故圆心到BC的距离为.

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