Question

【题目】如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB= ，AB=16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF=∠ADB．

（1）求线段BD的长；
（2）设BE=x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；
（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

在Rt△BAD中， ，AB=16，

∴AD=12∴

（2）

解：∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∵∠DEF=∠ADB，

∴∠DEF=∠DBC，

∵∠EDF=∠BDE，

∴△EDF∽△BDE，

∴ ，

∵BC=AD=12，BE=x，

∴CE=|x﹣12|，

∵CD=AB=16

∴在Rt△CDE中， ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，定义域为0＜x≤24

（3）

解：∵△EDF∽△BDE，

∴当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，

①当BE=BD时

∵BD=20，∴BE=20

②当DE=DB时，

∵DC⊥BE，∴BC=CE=12，

∴BE=24；

③ 当EB=ED时，

作EH⊥BD于H，则BH= ，cos∠HBE=cos∠ADB，

即

∴ ，

解得：BE= ；

综上所述，当△DEF时等腰三角形时，线段BE的长为20或24或

【解析】（1）由矩形的性质和三角函数定义求出AD，由勾股定理求出BD即可；（2）证明△EDF∽△BDE，得出 ，求出CE=|x﹣12|，由勾股定理求出DE，即可得出结果；（3）当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，分情况讨论：①当BE=BD时；②当DE=DB时；③当EB=ED时；分别求出BE即可．
【考点精析】掌握平行四边形的性质是解答本题的根本，需要知道平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．