Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）与双曲线y=

k

x

相交于点A、B，且抛物线经过坐标原点，点A在第二象限内，且点A到两坐标轴的距离相等，点B的坐标为（1，-4）．
（1）求A的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点E为A、B两点间的抛物线上的一点，试求△ABE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点．在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用B点坐标求出反比例函数解析式，进而得出A点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）首先求出直线AB的解析式为：y=-2x-2，设E（n，-n²-3n），过E作EF∥y轴，交AB于点F，则F点坐标为（n，-2n-2），得出S_△ABE=S_△AEF+S_△BEF的最值，进而得出E点坐标；
（3）首先求出C点坐标，进而得出过点C作AB的平行线CD的解析式一次项系数相等，进而将两函数联立求出交点坐标即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）与双曲线y=

k

x

相交于点A、B，点B的坐标为（1，-4），
∴xy=k=1×（-4）=-4，
∴双曲线y=-

4

x

，
∵点A到两坐标轴的距离相等，且点A在第二象限内，
∴可设A点坐标为：（-m，m）（m＞0），代入双曲线解析式得；m=2，
∴点A（-2，2），
∵抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）过A（-2，2），B（1，-4），O（0，0），
∴

4a-2b+c=2 a+b+c=-4 c=0

，
解得：

a=-1 b=-3 c=0

，
∴抛物线的解析式为：y=-x²-3x；

（2）由A（-2，2），B（1，-4），代入y=kx+d得：

-2k+b=2 k+b=-4

，
解得：

k=-2 d=-2

，
∴直线AB的解析式为：y=-2x-2，
设E（n，-n²-3n），过E作EF∥y轴，交AB于点F，则F点坐标为（n，-2n-2），
∴EF=（-n²-3n）-（-2n-2）=-n²-n+2，
∴S_△ABE=S_△AEF+S_△BEF=

1

2

×（-n²-n+2）×3=-

3

2

（n+

1

2

）²+

27

8

，
∴S_△ABE的最大值为：

27

8

，
此时，n=-

1

2

，-n²-3n=

5

4

，
∴E（-

1

2

，

5

4

）；

（3）∵B（1，-4）且直线BC∥x轴，
∴令-x²-3x=-4，
解得：x₁=1，x₂=-4，
∴C（-4，-4），
∴S_△ABC=5×6×

1

2

=15，
过点C作AB的平行线CD，交抛物线于点D，设直线CD对应的一次函数解析式为y=-2x+t，
则-4=-2×（-4）+t，
解得：t=-12，
∴直线CD对应的一次函数解析式为y=-2x-12，
令-2x-12=-x²-3x，
解得：x₁=3，x₂=-4（舍去），
当x=3时，y=-18，
∴存在点D（3，-18）满足条件．

点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及待定系数法求一次函数、二次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，利用数形结合得出CD解析式是解题关键．