Question

如图，AB⊥a于B，DC⊥a于C，∠BMA=75°，∠DMC=45°，AM=DM．
求证：AB=CB．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,矩形的判定与性质

专题：证明题

分析：过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形BCDE为矩形，然后根据∠AMB=75°，∠DMC=45°，可求∠AMD=60°，∠CDM=45°，而AM=DM，那么△AMD是等边三角形，于是∠ADM=∠MAD=60°，AM=AD，∠ADE=75°，利用AAS可证△ADE≌△MAB，可得AB=DE，继而可得AB=BC．

解答：解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB⊥a于B，DC⊥a于C，
∴四边形BCDE为矩形，
∵∠AMB=75°，∠DMC=45°，
∴∠AMD=60°，∠CDM=45°，
∵AM=DM，
∴△AMD是等边三角形，
∴AD=AM，∠ADM=∠MAD=60°，
则∠EAD=∠BAM+∠MAD=90°-75°+60°=75°，
∴∠EAD=∠BMA，
在△ADE和△MAB中，

∠DEA=∠ABM ∠EAD=∠BMA AD=MA

，
∴△ADE≌△MAB（AAS），
∴DE=AB，
∵DE=BC，
∴AB=BC．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定和性质．解题的关键是作辅助线，构造矩形．