题目内容
如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D．（1）求BC的长．
（2）连接AD和BD，判断△ABD的形状，说明理由．并求BD的长．
（3）求CD的长．
分析：（1）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后利用勾股定理可计算出BC；
（2）根据圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据角平分线定义得∠ACD=∠BCD，则AD=BD，于是可判断△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得到BD=
AB=5
；
（3）先根据三角形面积公式计算出CH=
，再勾股定理计算出AH=
，则OH=
，由CH∥OD，判断△CHP∽△DOP，利用相似比得
=
=
，于是可得到PH=
，OP=
，然后分别利用勾股定理计算出CP和DP，再把它们相加即可．
（2）根据圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据角平分线定义得∠ACD=∠BCD，则AD=BD，于是可判断△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得到BD=
| ||
| 2 |
| 2 |
（3）先根据三角形面积公式计算出CH=
| 24 |
| 5 |
| 18 |
| 5 |
| 7 |
| 5 |
| PH |
| OP |
| CH |
| DO |
| 24 |
| 25 |
| 24 |
| 35 |
| 5 |
| 7 |
解答：解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，AB=10，AC=6，
∴BC=
=8；
（2）△ABD为等腰直角三角形．理由如下：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD，
∴AD=BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BD=
AB=5
；
（3）作CH⊥AB于H，CD与AB交于P，如图，
∵△ABD为等腰直角三角形，
∴OD=
AB=5，OD⊥AB，
∵
CH•AB=
AC•BC，
∴CH=
=
，
在Rt△ACH中，AH=
=
，
∴OH=5-
=
，
∵CH∥OD，
∴△CHP∽△DOP，
∴
=
=
=
，
设PH=24t，则OP=25t，
∴24t+25t=
，解得t=
，
∴PH=
，OP=
，
在Rt△CHP中，CP=
=
，
在Rt△DOP中，DP=
=
，
∴CD=CP+DP=
+
=7
．
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，AB=10，AC=6，
∴BC=
| AB2-AC2 |
（2）△ABD为等腰直角三角形．理由如下：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD，
∴AD=BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BD=
| ||
| 2 |
| 2 |
（3）作CH⊥AB于H，CD与AB交于P，如图，
∵△ABD为等腰直角三角形，
∴OD=
| 1 |
| 2 |
∵
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴CH=
| 6×8 |
| 10 |
| 24 |
| 5 |
在Rt△ACH中，AH=
| AC2-CH2 |
| 18 |
| 5 |
∴OH=5-
| 18 |
| 5 |
| 7 |
| 5 |
∵CH∥OD，
∴△CHP∽△DOP，
∴
| PH |
| OP |
| CH |
| DO |
| ||
| 5 |
| 24 |
| 25 |
设PH=24t，则OP=25t，
∴24t+25t=
| 7 |
| 5 |
| 1 |
| 35 |
∴PH=
| 24 |
| 35 |
| 5 |
| 7 |
在Rt△CHP中，CP=
| CH2+PH2 |
24
| ||
| 7 |
在Rt△DOP中，DP=
| OP2+OD2 |
25
| ||
| 7 |
∴CD=CP+DP=
24
| ||
| 7 |
25
| ||
| 7 |
| 2 |
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．考查了等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理．
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