Question

（2012•宁波）如图，用邻边分别为a，b（a＜b）的矩形硬纸板裁出以a为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a与b满足的关系式是（　　）

• A．b=

  3

  a
• B．b=

  5 +1

  2

  a
• C．b=

  5

  2

  a
• D．b=

  2

  a

Answer 1

分析：首先利用圆锥形圣诞帽的底面周长等于侧面的弧长求得小圆的半径，然后利用两圆外切的性质求得a、b之间的关系即可．

解答：解：∵半圆的直径为a，
∴半圆的弧长为

πa

2

∵把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，
∴设小圆的半径为r，则：2πr=

πa

2

解得：r=

a

4

∴AC=

1

2

a-r=

a

4

，
如图小圆的圆心为B，半圆的圆心为C，作BA⊥CA于A点，
则：AC²+AB²=BC²
即：（

a

4

）²+（

b

2

）²=（

3a

4

）²
整理得：b=

2

a
故选D．

点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是利用两圆相外切的性质得到两圆的圆心距，从而利用勾股定理得到a、b之间的关系．