Question

（2012•宁波）如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知sinA=

1

2

，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OE．根据OB=OE得到∠OBE=∠OEB，然后再根据BE是△ABC的角平分线得到∠OEB=∠EBC，从而判定OE∥BC，最后根据∠C=90°得到∠AEO=∠C=90°证得结论AC是⊙O的切线．
（2）连接OF，利用S_阴影部分=S_梯形OECF-S_扇形EOF求解即可．

解答：解：（1）连接OE．
∵OB=OE
∴∠OBE=∠OEB                                       
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠OBE=∠EBC
∴∠OEB=∠EBC
∴OE∥BC                                             
∵∠C=90°
∴∠AEO=∠C=90°                                      
∴AC是⊙O的切线；
                              
（2）连接OF．
∵sinA=

1

2

，∴∠A=30°                               
∵⊙O的半径为4，∴AO=2OE=8，
∴AE=4

3

，∠AOE=60°，∴AB=12，
∴BC=

1

2

AB=6，AC=6

3

，
∴CE=AC-AE=2

3

．
∵OB=OF，∠ABC=60°，
∴△OBF是正三角形．
∴∠FOB=60°，CF=6-4=2，∴∠EOF=60°．
∴S_梯形OECF=

1

2

（2+4）×2

3

=6

3

．
 S_扇形EOF=

60π×42

360

=

8

3

π                     
∴S_阴影部分=S_梯形OECF-S_扇形EOF=6

3

-

8

3

π．

点评：本题考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算，解题的关键是连接圆心和切点，利用过切点且垂直于过切点的半径来判定切线．