题目内容
【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2，0）、B（4、0）两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）T是抛物线对称轴上的一点，且△ATC是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；
（3）M、Q两点分别从A、B点以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M到原点时，点Q立刻掉头并以每秒 
个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，过点M的直线l⊥x轴交AC或BC于点P．求点M的运动时间t与△APQ面积S的函数关系式，并求出S的最大值．
【答案】
（1）解：把A（﹣2，0），B（4，0）代入y=ax2+bx+4得：
，
解得：a=﹣ 
，b=1，
∴抛物线的解析式是：y=﹣ x2+x+4，
答：抛物线的解析式是y=﹣ x2+x+4
（2）解：由y=﹣ x2+x+4=﹣ （x﹣1）2+ 
，得抛物线的对称轴为直线x=1，
直线x=1交x轴于点D，设直线x=1上一点T（1，h），
连接TC、TA，作CE⊥直线x=1，垂足是E，
由C（0，4）得点E（1，4），
在Rt△ADT和Rt△TEC中，由TA=TC得32+h2=12+（4﹣h）2，
∴h=1，
∴T的坐标是（1，1），
答：点T的坐标是（1，1）
（3）解：（I）当0＜t≤2时，△AMP∽△AOC，
∴ 
= 
，PM=2t，
AQ=6﹣t，
∴S= PMAQ= ×2t（6﹣t）=﹣t2+6t=﹣（t﹣3）2+9，
当t=2时S的最大值为8；
（II）当2＜t≤3时，
作PM⊥x轴于M，作PF⊥y轴于点F，
则△COB∽△CFP，
又∵CO=OB，
∴FP=FC=t﹣2，PM=4﹣（t﹣2）=6﹣t，AQ=4+ 
（t﹣2）= t+1，
∴S= PMAQ= （6﹣t）（ t+1）=﹣ 
t2+4t+3=﹣ （t﹣ 
）2+ 
，
当t= 时，S最大值为 ，
综合（I）（II）S的最大值为 ，
答：点M的运动时间t与△APQ面积S的函数关系式是S=﹣t2+6t（0＜t≤2），S=﹣ t2+4t+3（2＜t≤3），S的最大值是 ．
【解析】（1）把A、B的坐标代入抛物线的解析式得到方程组，求出方程组的解即可；（2）设直线x=1上一点T（1，h），连接TC、TA，作CE⊥直线x=1，垂足是E，根据TA=TC由勾股定理求出即可；（3）（I）当0＜t≤2时，△AMP∽△AOC，推出比例式，求出PM，AQ，根据三角形的面积公式求出即可；（II）当2＜t≤3时，作PM⊥x轴于M，PF⊥y轴于点F，表示出三角形APQ的面积，利用配方法求出最值即可．
