题目内容

【题目】如图,在ABCD中,∠ABD的平分线BE交AD于点E,∠CDB的平分线DF交BC于点F.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)若AB=DB,猜想:四边形DFBE是什么特殊的四边形?并说明理由.

【答案】
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形

AB=CD,∠A=∠C.

AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB.

∵BE平分∠ABD,DF平分∠CDB,

∴∠ABE=∠ABD,∠CDF=∠CDB.

∴∠ABE=∠CDF.

在△ABE和△CDF中,

∴△ABE≌△CDF(SAS)


(2)解:四边形DFBE是矩形.理由如下:

∵AB=DB,BE平分∠ABD,

∴BE⊥AD,即∠DEB=90°.

∵AB=DB,AB=CD,

∴DB=CD.

∵DF平分∠CDB,

∴DF⊥BC,即∠BFD=90°.

在□ABCD中,∵AD∥BC,

∴∠EDF+∠DEB=180°.

∴∠EDF=90°.

∴∠DEB=∠BFD=∠EDF=90°.

∴四边形DFBE是矩形


【解析】(1)首先利用平行四边形的想得到AB=CD,∠A=∠C,再利用角平分线的性质得到∠ABE=∠CDF,利用ASA证明△ABE≌△CDF;(2)证明∠DEB=∠BFD=∠EDF=90°.即可解决问题.
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的性质和矩形的判定方法的相关知识点,需要掌握平行四边形的对边相等且平行;平行四边形的对角相等,邻角互补;平行四边形的对角线互相平分;有一个角是直角的平行四边形叫做矩形;有三个角是直角的四边形是矩形;两条对角线相等的平行四边形是矩形才能正确解答此题.

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