Question

【题目】如图，抛物线y=﹣1.25x2+4.25x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）

（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵当x=0时，y=1，∴A（0，1）．

当x=3时，y=﹣ ×32+ ×3+1=2.5，∴B（3，2.5），

设直线AB的解析式为y=kx+b，

则： ，解得： ，

∴直线AB的解析式为y= x+1

（2）解：∵动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，点P移动的时间为t秒，

∴OP=1t=t，

∴P（t，0）（0≤t≤3），

∵过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，

∴M（t， t+1），N（t，﹣ t2+ t+1），

∴s=MN=NP﹣MP=﹣ t2+ t+1﹣（ t+1）=﹣ t2+ t（0≤t≤3）

（3）解：由题意，可知当MN=BC时，四边形BCMN为平行四边形，

此时，有﹣ t2+ t= ，

解得t1=1，t2=2，

所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形．

①当t=1时，MP= ，NP=4，故MN=NP﹣MP= ，

又在Rt△MPC中，MC= = ，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形；

②当t=2时，MP=2，NP= ，故MN=NP﹣MP= ，

又在Rt△MPC中，MC= = ，故MN≠MC，此时四边形BCMN不是菱形．

【解析】（1）将x=0、3分别代入函数解析式，求出对应的函数值，得到点A、B的坐标，利用待定系数法就可求出直线AB的解析式。
（2）根据题意得到OP=t，可得到点P的坐标，由PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，可得到点M、N的坐标，由s=MN=NP﹣MP，可求得s与t的函数解析式及t的取值范围。
（3）由题意知MN∥BC，因此当MN=BC时，四边形BCMN为平行四边形，建立方程，求解即可求得t的值；当t=1时，在Rt△MPC中，求出MC的长即可；②当t=2时，在Rt△MPC中求出MC即可判断平行四边形BCMN是否菱形。
【考点精析】通过灵活运用确定一次函数的表达式和抛物线与坐标轴的交点，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．即可以解答此题．