题目内容

【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,以BC为直径的⊙O交AB于点D,切线DE交AC于点E.

(1)求证:∠A=∠ADE;
(2)若AD=16,DE=10,求BC的长.

【答案】
(1)

证明:连结OD,∵DE是⊙O的切线,

∴∠ODE=90°,

∴∠ADE+∠BDO=90°,

∵∠ACB=90°,

∴∠A+∠B=90°,

又∵OD=OB,

∴∠B=∠BDO,

∴∠ADE=∠A.


(2)

解:连结CD,∵∠ADE=∠A,

∴AE=DE,

∵BC是⊙O的直径,∠ACB=90°.

∴EC是⊙O的切线,∴DE=EC,

∴AE=EC.

又∵DE=10,

∴AC=2DE=20,

在Rt△ADC中,DC= .

设BD=x,

在Rt△BDC中,BC2=x2+122, 在Rt△ABC中,BC2=(x+16)2-202,

∴x2+122=(x+16)2-202,解得x=9,

∴BC= .


【解析】(1)连结OD,根据切线的性质和同圆的半径相等,及圆周角所对的圆周角为90°,得到相对应的角的关系,即可证明;(2)由(1)中的∠ADE=∠A可得AE=DE;由∠ACB=90°,可得EC是⊙O的切线,由切线长定理易得DE=EC,则AC=2DE,由勾股定理求出CD;设BD=x,再可由勾股定理BC2= x2+122=(x+16)2-202,可解出x的值,再重新代入原方程,即可求出BC.
【考点精析】认真审题,首先需要了解切线的性质定理(切线的性质:1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径).

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