题目内容
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线
过点A(0，4)和C(8，0)，P(t，0)是
轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB．过B作轴的垂线、过点A作
轴的垂线，两直线相交于点D．
（1）求b、c的值；
（2）当t为何值时，点D落在抛物线上；
（3）是否存在，使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由；
（4）连结AC，在点P运动过程中，若以PB为直径的圆与直线AC相切，直接写出此时t的值．
过点A(0，4)和C(8，0)，P(t，0)是轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB．过B作轴的垂线、过点A作轴的垂线，两直线相交于点D．（1）求b、c的值；
（2）当t为何值时，点D落在抛物线上；
（3）是否存在，使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由；
（4）连结AC，在点P运动过程中，若以PB为直径的圆与直线AC相切，直接写出此时t的值．
（1）
；（2）1；（3）
；（4）
；（2）1；（3）；（4） 试题分析：（1）首先由勾股定理求得线段AC的长，然后利用△AOC∽△BOA求得线段BE、AE的长，从而求得点B的坐标；
（2）由△AOP∽△PEB根据相似三角形的性质可得PE=2，即得点D的坐标为（
，4），再代入二次函数关系式求解即可；（3）分0＜t＜8时和t＞8两种情况，利用△AOC∽△BEA根据相似三角形的性质求解即可；
（4）先求得AC的解析式，设BP的中点为N，由
，可得
，AP=
，过点N作FN//AC交y轴于点F，过点F作FH⊥AC于点H，可设
，可得
，即
，由△AFH∽△ACO可得
，由AF=4-m可得
，由
可得
，即可求得结果.（1）由题意得
，解得；（2）△AOP∽△PEB且相似比为
，PE=2，求得点D的坐标为（，4）∴
解得
∵
；（3）①当
时，如图（1）
若△POA∽△ADB
，即
∴无解
若△POA∽△BDA，同理，解得
；②当
时，如图（2）若△POA∽△ADB
，即
解得
，取
若△POA∽△BDA，同理，解得无解
∴
；（4）∵A（0，4），C（8，0）
∴AC的解析式为
设BP的中点为N，由
，可得，AP=过点N作FN//AC交y轴于点F，过点F作FH⊥AC于点H
可设
，可得，即由△AFH∽△ACO可得
，由AF=4-m可得由
可得，∴
整理得31t2－336t＋704＝0，解得
点评：本题知识点多，综合性强，难度较大，一般是中考压轴题，主要考查学生对二次函数的性质的熟练掌握情况.
练习册系列答案
相关题目
（
）与
轴相交于点
，顶点为
.直线
分别与
轴，
两点，并且与直线
相交于点
.
沿
′与
，连结
，求
的值和四边形
的面积；
，使得以
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出
，则当函数值
时，自变量
的值是（ ）
的自变量
与函数
的对应值，可判断该二次函数的图像与
＞0．其中正确的结论有( ) 
（元）与日销售量y（件）之间关系为y=
，而日销售利润P（元）与日销售单价
．当日销售单价为多少时，每日获得利润48元，且保证日销售量不低于10件？
的对称轴是（ ）
