Question

18．在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，D为BC中点，且CE=AE，过A作AF⊥BE于F，若DF=2$\sqrt{2}$，则EF=2．

Answer 1

分析 先设AE=CE=a，则AB=2a，BC=2$\sqrt{2}$a，求得$\frac{BD}{BE}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，再根据AF⊥BE，∠BAE=90°，求得$\frac{BF}{BC}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，进而得到$\frac{BD}{BE}$=$\frac{BF}{BC}$，根据∠DBF=∠EBC，判定△BDF∽△BEC，得出$\frac{DF}{EC}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，最后求得a=2$\sqrt{5}$，据此得到EF的长．

解答 解：设AE=CE=a，则AB=2a，BC=2$\sqrt{2}$a，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴BE=$\sqrt{5}$a，BD=$\sqrt{2}$a，
∴$\frac{BD}{BE}$=$\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{5a}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∵AF⊥BE，∠BAE=90°，
∴AE²=EF×EB，即a²=EF×$\sqrt{5}$a，
∴EF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，BF=$\frac{4}{5}\sqrt{5}$a，
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{\frac{4}{5}\sqrt{5}a}{2\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴$\frac{BD}{BE}$=$\frac{BF}{BC}$，
又∵∠DBF=∠EBC，
∴△BDF∽△BEC，
∴$\frac{DF}{EC}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，即$\frac{2\sqrt{2}}{CE}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴CE=2$\sqrt{5}$，
∴a=2$\sqrt{5}$，
∴EF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a=$\frac{\sqrt{5}}{5}$×2$\sqrt{5}$=2，
故答案为：2．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及射影定理的综合应用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．