题目内容
【题目】如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.
如:,
,
,因此
,
,
这三个数都是神秘数.
(1)是神秘数吗?为什么?
(2)设两个连续偶数为和
(其中
取非负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是
的倍数吗?为什么?
(3)①若长方形相邻两边长为两个连续偶数,试说明其周长一定为神秘数.
②在①的条件下,面积是否为神秘数?为什么?
【答案】(1)是,见详解;(2)是,见详解;(3)①见详解,②是,见详解
【解析】
(1)根据“神秘数”的定义,只需看能否把28这个数写成两个连续偶数的平方差即可判断;
(2)运用平方差公式进行计算,进而判断即可;
(3)①运用周长公式进行计算,进而判断即可,②运用面积公式进行计算,进而判断即可.
解:(1)28是“神秘数”,理由如下:
∵28=82-62,能表示为两个连续偶数的平方差,
∴28是“神秘数”;
(2)“神秘数”是4的倍数.理由如下:
∵(2k+2)2-(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2-2k)=2(4k+2)=4(2k+1),
∴“神秘数”是4的倍数;
(3)①设两个连续的偶数为:2k,2k+2(其中取非负整数),
则周长=,
而由(2)知“神秘数”可表示为4(2k+1),
∴长方形相邻两边长为两个连续偶数,则其周长一定为神秘数.
②长方形的面积=,
∵取非负整数,
∴在①的条件下,面积是神秘数.
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