题目内容

【题目】如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为神秘数”.

如:,因此这三个数都是神秘数.

(1)是神秘数吗?为什么?

(2)设两个连续偶数为(其中取非负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是的倍数吗?为什么?

(3)①若长方形相邻两边长为两个连续偶数,试说明其周长一定为神秘数.

②在①的条件下,面积是否为神秘数?为什么?

【答案】1)是,见详解;(2)是,见详解;(3)①见详解,②是,见详解

【解析】

1)根据神秘数的定义,只需看能否把28这个数写成两个连续偶数的平方差即可判断;
2)运用平方差公式进行计算,进而判断即可;
3)①运用周长公式进行计算,进而判断即可,②运用面积公式进行计算,进而判断即可.

解:(128神秘数,理由如下:
28=82-62,能表示为两个连续偶数的平方差,
28神秘数
2神秘数4的倍数.理由如下:
∵(2k+22-2k2=2k+2+2k)(2k+2-2k=24k+2=42k+1),
神秘数4的倍数;

3)①设两个连续的偶数为:2k2k+2(其中取非负整数)

则周长=
而由(2)知神秘数可表示为42k+1),
∴长方形相邻两边长为两个连续偶数,则其周长一定为神秘数.

②长方形的面积=

取非负整数,

∴在①的条件下,面积是神秘数.

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