Question

【题目】如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线经过A，B两点，与x轴的另一交点为C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将△ABC以每秒1个单位的速度沿射线AB方向平移，平移后的三角形记为△DEF，平移时间为t秒，0≤t≤5，平移过程中EF与抛物线交于点G．

①当FG：GE＝3：2时，求t的值；

②△DEF与△AOB重叠部分面积为S，直接写出S与t的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣4；（2）①t＝；②S＝

【解析】

（1）点A、B的坐标分别为：（0，﹣4）、（3，0），c＝﹣4，抛物线的表达式为：y＝x2+bx﹣4，将点B的坐标代入上即可求解；

（2）①设点E（x，t），FG：GE＝3：2，则3EG＝2FG，即3（3+﹣x）＝2（x+2﹣），即可求解；

②当0＜t≤2时，S＝S△BRF﹣S△OHR；②当2＜t≤5时，S＝OB×|yD|，即可求解．

解：（1）直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，

令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝﹣4，

故点A、B的坐标分别为：（0，﹣4）、（3，0），

c＝﹣4，抛物线的表达式为：y＝x2+bx﹣4，

将点B的坐标代入上式并解得：b＝﹣，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4；

（2）设△ABC沿AB移动了t个单位，则向右移动了t个单位、向上移动了t个单位，

则点E、F、D的坐标分别为：（3+t，t），（﹣2+t，t）、（t，﹣4+t）；

①设点E（x，t），

FG：GE＝3：2，则3EG＝2FG，

即3（3+﹣x）＝2（x+2﹣），

化简得：x＝1+，

将点E（1+，）的坐标代入抛物线表达式并整理得：

3t2+3t﹣50＝0，

解得：t＝（不合题意的值已舍去）；

②当0＜t≤2时，

如下图所示，设直线FD与x、y轴分别交于点R、H，

由点A、C的坐标可得，直线AC的表达式为：y＝﹣2x﹣4，

则设直线FD的表达式为：y＝﹣2x+b，

将点D的坐标代入上式并解得：b＝2t﹣4，

故直线FD的表达式为：y＝﹣2x+2t﹣4，

则点R、H的坐标分别为：（t﹣2，0）、（2t﹣4）；

S＝S△BRF﹣S△OHR

＝BR×|yD|﹣×OR×OH

＝（3﹣t+2）（﹣t+4）﹣（2﹣t）（4﹣2t）

＝﹣t2+6；

②当2＜t≤5时，

S＝OB×|yD|＝×3×（4﹣t）＝﹣t+6；

综上，S＝．