Question

【题目】如图,点P是矩形ABCD内一点,连接PA、PB、PC、PD,已知AB=3,BC=4,设△PAB, △PBC, △PCD, △PDA,的面积分别为,,, ,以下判断: ①PA+PB+PC+PD的最小值为10;②若△PAB≌△PCD,则△PAD≌△PBC ;③若=,则=；④若△PAB∽△PDA,则PA=2.4.其中正确的是_____________(把所有正确的结论的序号都填在横线上)

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】分析：①当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理可得PA+PB+PC+PD的最小值，即可判断；
②根据全等三角形的性质可得PA=PC，PB=PD，那么P在线段AC、BD的垂直平分线上，即P是矩形ABCD两对角线的交点，易证△PAD≌△PBC，即可判断；
③易证S1+S3=S2+S4，所以若S1=S2，则S3=S4，即可判断；
④根据相似三角形的性质可得∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，利用三角形内角和定理得出∠APD=180°-（∠PDA+∠PAD）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，即B、P、D三点共线，根据三角形面积公式可得PA=2.4，即可判断．

详解：①当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理得，AC=BD=5，所以PA+PB+PC+PD的最小值为10，故①正确；

②若△PAB≌△PCD,则PA=PC,PB=PD,所以P在线段AC、BD的垂直平分线上,即P是矩形ABCD两对角线的交点,所以△PAD≌△PBC，故②正确；

③若=,易证+=+,则=，故③正确；

④若△PAB△PDA,则∠PAB=∠PDA,∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°,∠APD=180°(∠PDA+∠PAD)=90°,同理可得∠APB=90°,那么∠BPD=180°，B.P、D三点共线，P是直角△BAD斜边上的高，根据面积公式可得PA=2.4，故④正确.

故答案为①②③④.