Question

如图，已知Rt△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，EA平分∠BAC交⊙O于点E，过E作⊙O的切线交AB的延长线于点F，交AC的延长线于点G，AE、BC交于点D．
（1）求证：EF∥BC；
（2）若tan∠G=

3

4

，EF=4，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）连接OE交BC于M，根据切线的性质可得∠OEF=90°，由圆的性质和角平分线的定义可证明OE∥AB，所以可得∠OMB=90°，所以∠OEF=∠OMB=90°，进而证明EF∥BC；
（2）连接OB，由题意可证明四边形BFEM是矩形，所以BM=EF=4，由（1）可知BC∥FG，所以∠G=∠ACB，利用勾股定理和锐角三角函数的定义即可求出DE的长．

解答：（1）证明：连接OE交BC于M，
∵EF是圆的切线，
∴∠OEF=90°，
∵EA平分∠BAC交⊙O于点E，
∴∠FAE=∠EAO，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠FAE=∠AEO，
∴AF∥OE，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠OMB=90°，
∴∠OEF=∠OMB=90°，
∴EF∥BC；

（2）连接OB，
∵BC∥EF，
∴∠AFE=∠ABC=90°，
∵EF是切线，
∴∠MEF=90°，
四边形BFEM是矩形，
∴FE=BM=4，
∴BC=8，
∵tan∠G=

3

4

，
∴tan∠ABC=

3

4

，
∵AB=6，∴AC=10，
∴OB=5，∴OM=3，
∴EM=2，
∵AF=AB+BF=8，
∴tan∠FAE=

1

2

，
∴tan∠FAE=tan∠DEM=

1

2

，
∵EM=2，
∴DM=1，
∴DE=

22+12

=

5

．

点评：本题考查了切线的性质、角平分线的性质、平行线的判定和性质以及矩形的判定和性质、勾股定理的运用和锐角三角函数值，题目的综合性很强，难度不小．