题目内容
【题目】如图,△ABC中,AB=4,BC=3,以C为圆心,CB的长为半径的圆和AC交于点D,连接BD,若∠ABD=∠C.
(1)求证:AB是⊙C的切线;
(2)求△DAB的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)由CB=CD得∠CBD=∠CDB,根据三角形内角和定理得到∠C=180°﹣2∠CBD,由于∠ABD=∠C,则2∠ABD=180°﹣2∠CBD,即可得到∠ABD+∠CBD=90°,于是可根据切线的判定得到AB是⊙C的切线;
(2)作BE⊥AC于E,如图,先根据勾股定理计算出AC=5,则AD=AC﹣CD=2,再利用面积法计算出BE=,然后根据三角形面积公式求解.
(1)证明:∵CB=CD,
∴∠CBD=∠CDB,
∴∠C=180°﹣2∠CBD,
∵∠ABD=∠C,
∴2∠ABD=180°﹣2∠CBD,
∴∠ABD+∠CBD=90°,即∠ABC=90°,
∴AB⊥BC,
∴AB是⊙C的切线
(2)解:作BE⊥AC于E,如图,
在Rt△ABC中,∵AB=4,BC=3,
∴AC==5,
∴AD=AC﹣CD=5﹣3=2,
∵BEAC=BCAB,
∴BE=,
∴△DAB的面积=×2×=.
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