题目内容
【题目】如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD=8，AB=6．如图2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）当t=5时，请直接写出点D、点P的坐标；
（2）当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；
（3）点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．
【答案】（1）D（﹣4，3），P（﹣12，8）；（2）
；（3）6．
【解析】试题分析：（1）延长CD交x轴于M，延长BA交x轴于N，则CM⊥x轴，BN⊥x轴，AD∥x轴，BN∥DM，由矩形的性质得出和勾股定理求出BD，BO=15，由平行线得出△ABD∽△NBO，得出比例式
，求出BN、NO，得出OM、DN、PN，即可得出点D、P的坐标；
（2）当点P在边AB上时，BP=6﹣t，由三角形的面积公式得出S=
BPAD；②当点P在边BC上时，BP=t﹣6，同理得出S=
BPAB；即可得出结果；
（3）设点D（
， 
）；分两种情况：①当点P在边AB上时，P（
， 
），由
和
时；分别求出t的值；
②当点P在边BC上时，P（
， 
）；由
和
时，分别求出t的值即可．
试题解析：（1）延长CD交x轴于M，延长BA交x轴于N，如图1所示：则CM⊥x轴，BN⊥x轴，AD∥x轴，BN∥DM，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，∴BD=
=10，当t=5时，OD=5，∴BO=15，∵AD∥NO，∴△ABD∽△NBO，∴
，即
，∴BN=9，NO=12，∴OM=12﹣8=4，DM=9﹣6=3，PN=9﹣1=8，∴D（﹣4，3），P（﹣12，8）；
（2）如图2所示：当点P在边AB上时，BP=6﹣t，∴S=
BPAD=
（6﹣t）×8=﹣4t+24；
②当点P在边BC上时，BP=t﹣6，∴S=
BPAB=
（t﹣6）×6=3t﹣18；
综上所述： 
；
（3）设点 D（
， 
）；
①当点P在边AB上时，P（
， 
），若
时， 
，解得：t=6；
若
时， 
，解得：t=20（不合题意，舍去）；
②当点P在边BC上时，P（
， 
），若
时， 
，解得：t=6；
若
时， 
，解得： 
（不合题意，舍去）；
综上所述：当t=6时，△PEO与△BCD相似．
