题目内容
【题目】如图,⊙O的直径AC与弦BD相交于点F,点E是DB延长线上的一点,∠EAB=∠ADB.
(1)求证:EA是⊙O的切线;
(2)若点B是EF的中点,AB=,CB=
,求AE的长.
【答案】(1)见解析;(2)4.
【解析】分析: (1)连接CD,由AC是⊙O的直径,可得出∠ADC=90°,由角的关系可得出∠EAC=90°,即得出EA是⊙O的切线;
(2)连接BC,由AC是⊙O的直径,可得出∠ABC=90°,由在RT△EAF中,B是EF的中点,可得出∠BAC=∠AFE,即可得出△EAF∽△CBA,利用相似从而求AE的长.
详解:
(1)∵弧AB=弧AB,∴∠D=∠C.
∵∠EAB=∠D,∴∠EAB=∠C.
∵AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°,
∴∠EAB+∠CAB=90°,
∴∠DAE=90°,
∴AE与⊙O相切;
(2)
∵∠ABC=90°,AB=,CB=
,
∴AC==6,
由(1)知∠OAE=90°,
在Rt△EAF中,∵B是F的中点,
∴EF=2AB=
∴∠BAF=∠BFA.
∵∠ABC=∠EAF,∴Rt△AFE∽Rt△BAC,
∴,
,
AE=4.
点睛: 本题主要考查了切线的判定和相似三角形的判定与性质,解题的关键是作出辅助线运用三角形相似及切线性质求解.

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