题目内容

【题目】如图O的直径AC与弦BD相交于点F,EDB延长线上的一点EAB=ADB.

(1)求证:EA是⊙O的切线;

(2)若点BEF的中点,AB=,CB=AE的长.

【答案】(1)见解析;(2)4.

【解析】分析: (1)连接CD,由AC是⊙O的直径,可得出∠ADC=90°,由角的关系可得出∠EAC=90°,即得出EA是⊙O的切线;

(2)连接BC,由AC是⊙O的直径,可得出∠ABC=90°,由在RT△EAF中,BEF的中点,可得出∠BAC=∠AFE,即可得出△EAF∽△CBA,利用相似从而求AE的长.

详解:

(1)∵弧AB=弧AB∴∠D=C.

∵∠EAB=D,∴∠EAB=C.

AC是⊙O的直径∴∠ABC=90°,

∴∠EAB+CAB=90°,

∴∠DAE=90°,

AE与⊙O相切;

(2)

∵∠ABC=90°,AB=,CB=,

AC==6,

(1)知∠OAE=90°,

RtEAFBF的中点

EF=2AB=

∴∠BAF=BFA.

∵∠ABC=EAF,RtAFERtBAC,

,,

AE=4.

点睛: 本题主要考查了切线的判定和相似三角形的判定与性质,解题的关键是作出辅助线运用三角形相似及切线性质求解.

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