题目内容
【题目】已知,抛物线y=m与y轴交于点C,与x轴交于点A和点B(其中点A在y轴左侧,点B在y轴右侧).
(1)若抛物线y=m的对称轴为直线x=1,求抛物线的解析式;
(2)如图1,∠ACB=90°,点P是抛物线y=m上的一点,若S△BCP=
,求点P的坐标;
(3)如图2,过点A作AD∥BC交抛物线于点D,若点D的纵坐标为﹣m,求直线AD的解析式.
【答案】(1);(2)P坐标为(
,
)或(
,
);(3)
【解析】
(1)由对称轴x=1,可求解;
(2)先求出点A,点B,点C坐标,由勾股定理可求m的值,即可求抛物线解析式,在y轴上选取点Q(0,3),则,过Q作PQ∥BC,则直线与抛物线的交点就是点P,可求PQ解析式,联立方程组,可求点P坐标;
(3)由题意可得A(m,0),B(1,0),点C(0,m),可求出BC解析式,AD解析式,联立方程组,可求点D坐标,代入解析式可m的值,即可求解.
解:(1)∵抛物线y=m的对称轴为直线x=1,
∴对称轴直线为x==1,
∴m=1,
∴抛物线解析式为y=.
(2)∵y=m=
,
∴当y=0时,x1=1,x2=m,
∴点A(m,0),点B(1,0),
∴AB=1﹣m,
∵C点坐标为(0,m),点A(m,0),点B(1,0),
∴AB2=(m﹣1)2,AC2+BC2=1+()2+m2+(
)2=1+
m2,
∵∠ACB=90°,
∴AB2=AC2+BC2,
∴1+m2=(m﹣1)2,
∴m=﹣4,
∴抛物线解析式为y=x2+
x-2.
A(﹣4,0),B(1,0)C(0,﹣2),
∴.
如图1,在y轴上选取点Q(0,3),则,过Q作PQ∥BC,则直线与抛物线的交点就是点P,
∵B(1,0)C(0,﹣2),
∴直线BC解析式为:y=2x﹣2,
则直线PQ解析式为:y=2x+3,
∴
解得x1=,x2=
.
∴P坐标为(,4-
)或(
,4+
)。
(3)由题意知-m>0,
∴m<0,
∴A(m,0),B(1,0),且点C(0,m),
∴直线BC解析式为:y=﹣mx+
m,
∴AD解析式为: y=﹣m(x-m).
∴
解得:x1=1﹣m,x2=m(舍,这是A点的横坐标),
∴点D(1﹣m,﹣m)
∴-m(1-m-m)=
m,
解得m=-,
∴AD的解析式为y=.

【题目】“垃圾分类就是新时尚”.树立正确的垃圾分类观念,促进青少年养成良好的文明习惯,对于增强公共意识,提升文明素质具有重要意义.为了调査学生对垃圾分类知识的了解情况,从甲、乙两校各随机抽取20名学生进行了相关知识测试,获得了他们的成绩(百分制,单位:分),并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析,下面给出了部分信息.
a.甲、乙两校学生样本成绩频数分布表及扇形统计图如下:
甲校学生样本成绩频数分布表(表1)
成绩m(分) | 频数 | 频率 |
0.10 | ||
4 | 0.20 | |
7 | 0.35 | |
2 | ||
合计 | 20 | 1.0 |
b.甲、乙两校学生样本成绩的平均分、中位数、众数、方差如下表所示:(表2)
学校 | 中位数 | 众数 | 方差 | |
甲 | 76.7 | 77 | 89 | 150.2 |
乙 | 78.1 | 80 | 135.3 |
其中,乙校20名学生样本成绩的数据如下:
54 72 62 91 87 69 88 79 80 62 80 84 93 67 87 87 90 71 68 91
请根据所给信息,解答下列问题:
(1)表1中___________;表2中的众数
_________;
(2)乙校学生样本成绩扇形统计图(图1)中,这一组成绩所在扇形的圆心角度数是_________度;
(3)在此次测试中,某学生的成绩是79分,在他所属学校排在前10名,由表中数据可知该学生是________校的学生(填“甲”或“乙”),理由是________________________;
(4)若乙校1000名学生都参加此次测试,成绩80分及以上为优秀,请估计乙校成绩优秀的学生约为________人.