题目内容
如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB=45°，∠ABC=120°，延长CB到D，使DB=2BC，连接AD，求证：AD切⊙O于点A．
分析：连接OA，OB，OC，由∠ABC和∠ACB的度数求出∠AOB，∠OAC，∠OCA和∠COE的度数，利用直角三角形以及等腰三角形得到AE与EC的关系，根据对应线段的比相等判定AD与OB平行，再用两直线平行，同旁内角互补，得到∠OAD=90°，判定AD切⊙O于点A．
解答：
证明：如图：连接OA，OB，OC，且OB交AC于E，
∵∠ACB=45°，∠ABC=120°，∴∠AOB=90°，∠E0C=∠ECO=∠OAE=30°，
在直角△AOE中，设OE=a，则AE=2a，EC=a，
∴
=
=
，
又∵DB=2BC，∴
=
．
∴
=
=
，
∴OB∥AD，
∴∠OAD=∠AOB=90°．
所以AD切⊙O于点A．
证明：如图：连接OA，OB，OC，且OB交AC于E，∵∠ACB=45°，∠ABC=120°，∴∠AOB=90°，∠E0C=∠ECO=∠OAE=30°，
在直角△AOE中，设OE=a，则AE=2a，EC=a，
∴
| EC |
| AE |
| a |
| 2a |
| 1 |
| 2 |
又∵DB=2BC，∴
| BC |
| DB |
| 1 |
| 2 |
∴
| EC |
| AE |
| BC |
| DB |
| 1 |
| 2 |
∴OB∥AD，
∴∠OAD=∠AOB=90°．
所以AD切⊙O于点A．
点评：本题考查的是切线的判定，根据题目的条件求出相应的角的度数，利用线段的比相等判定两直线平行，用两直线平行同位角相等得到∠OAD=90°，证明AD切⊙O于点A．
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