Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E．

（1）若AC=6，BC=10，求⊙O的半径．

（2）过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠AFE=2∠ABC，求证：四边形ACEF是菱形．

Answer 1

【答案】（1）圆O半径为r=3；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）连接OE，设圆的半径为r，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的长，根据BC与圆相切，得到OE垂直于BC，进而得到一对直角相等，再由一对公共角，利用两角相等的三角形相似得到△BOE与△ABC相似，由相似得比例求出r的值即可；

（2）利用同弧所对的圆周角相等，得到∠AOE=4∠B，进而求出∠B与∠F的度数，根据EF与AD垂直，得到一对直角相等，确定出∠MEB=∠F=60°，CA与EF平行，进而得到CB与AF平行，确定出四边形ACEF为平行四边形，再由∠CAB为直角，得到CA为圆的切线，利用切线长定理得到CA=CE，利用邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．

试题解析：（1）连接OE，设圆O半径为r，

在Rt△ABC中，AC=6，BC=10，

根据勾股定理得：AB= =8，

∵BC与圆O相切，∴OE⊥BC，∴∠OEB=∠BAC=90°，

∵∠B=∠B，∴△BOE∽△BCA，∴，即，解得：r=3；

（2）∵，∠AFE=2∠ABC，∴∠AOE=2∠AFE=4∠ABC，

∵∠AOE=∠OEB+∠ABC，∴∠ABC=30°，∠F=60°，

∵EF⊥AD，∴∠EMB=∠CAB=90°，∴∠MEB=∠F=60°，CA∥EF，∴CB∥AF，

∴四边形ACEF为平行四边形，

∵∠CAB=90°，OA为半径，∴CA为圆O的切线，

∵BC为圆O的切线，∴CA=CE，∴平行四边形ACEF为菱形．