题目内容
【题目】问题提出
（1）如图①，已知线段AB，请以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；
（2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l且AD=3，∠BAC=60°，求△ABC面积的最小值；
问题解决
（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=6m，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值?若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）存在，72m2
【解析】
（1）构造辅助圆，利用直径所对圆周角为直角解决问题即可．
（2）作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，根据垂线段最短得到AO+OE≥AD，从而算出BC的最大值，即可得到结果；
（3）分别延长AB、DC交于点M，根据等腰直角三角形的性质求出四边形ABCD的面积，将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到△CDE′，得到A、D、E′三点共线，从而得到当S△CE′F取得最小值时，S四边形AECF取得最大值，以E′F为斜边作等腰Rt△OE′F，设△CE′F的外接圆半径为rm，求出r的取值范围，得到当点O在CD上时，E′F最短，从而可以求出四边形AECF面积的最大值.
解：（1）如图，Rt△ACB即为所求．
（2）如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，
则∠BOC=2∠BAC，OA=OB=OC，BE=CE=
BC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=30°，
设OA=OB=OC=r，
则OE=r，BC=2BE=
r，
∵AO+OE≥AD，AD=3，
∴r+r≥3，
解得r≥2，
∴BC=r≥
，
∴S△ABC=BC·AD≥××3=，
∴△ABC面积的最小值为．
（3）存在；如图，分别延长AB、DC交于点M，
则△ADM、△CBM均为等腰直角三角形，
∵CB=CD=6m，
∴BM=6m，CM=
m，AD=DM=（6+）m，
∴S四边形ABCD
=S△ADM-S△CBM
=DM2-BC2
=×（6+）2-×62
=（36+
）m2．
将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到△CDE′，
则A、D、E′三点共线．
∴S四边形AECF=S四边形ABCD–（S△CBE+S△CDF）=S四边形ABCD–S△CE′F
∵S四边形ABCD为定值，
∴当S△CE′F取得最小值时，S四边形AECF取得最大值．
∵∠E′CF=135°-90°=45°，
∴以E′F为斜边作等腰Rt△OE′F，
则△CE′F的外接圆是以点O为圆心，OF长为半径的圆，
设△CE′F的外接圆半径为rm，
∴E′F=
rm，
又∵OC+OD≥CD，
∴
r+r≥6，
∴r≥12-，
当点O在CD上时，E′F最短，此时E′F=r=（
-12）m，
∴S△CE′F最小=×（-12）×6=（-36）m2，
∴S四边形AECF最大=S四边形ABCD-S△CE’F最小=36+-（-36）=72m2．
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【题目】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O为AB上一点，以O为圆心，AO为半径的圆经过点D．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若BD＝AD＝
，求阴影部分的面积．
【题目】
年新冠肺炎疫情发生以来，每天测体温成为一种制度，手持红外测温枪成为紧俏商品．某经销店承诺对所有商品明码标价，绝不哄抬物价．如下表所示是该店甲、乙两种手持红外测温枪的进价和售价：
商品 价格 | 甲 | 乙 |
进件（元 |
|
|
售价（元 |
|
|
该店有一批用
元购进的甲、乙两种手持红外测温枪库存，预计全部销售后可获毛利润共
元．[毛利润
（售价
进价）
销售量]
（1）该店库存的甲、乙两种手持红外测温枪分别为多少个？
（2）根据销售情况，该店计划增加甲种手持红外测温枪的购进量，减少乙种手持红外测温枪的购进量．已知甲种手持红外测温枪增加的数量是乙种手持红外测温枪减少的数量的
倍，进货价不变，而且用于购进这两种手持红外测温枪的总资金不超过
元，则该店怎样进货，可使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．
