如图.直角坐标系中.点A的坐标为(1.0).以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB.点C为x正半轴上一动点.连接BC.以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD.直线DA交y轴于点E．(1)△OBC与△ABD全等吗?判断并证明你的结论,(2)P是y轴上一动点.若△PAB的面积为2.求P点的坐标,(3)随着点C位置的变化.点E的位置是否发生变化?若没有变化.求出点E的坐标.若有变化.请说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．

如图，直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．
（1）△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；
（2）P是y轴上一动点，若△PAB的面积为2，求P点的坐标；
（3）随着点C位置的变化，点E的位置是否发生变化？若没有变化，求出点E的坐标，若有变化，请说明理由．

分析（1）判断△OBC与△ABD全等，由等边△AOB和等边△CBD得到全等条件；
（2）设P（0，m），延长AB交y轴于F，在Rt△OAF中，由OA=1，∠AFO=30°，推出OF=$\sqrt{3}$OA=$\sqrt{3}$，根据S_△PAB=S_△PAF-S_△PBF，可得2=$\frac{1}{2}$（m+$\sqrt{3}$）•1-$\frac{1}{2}$（m+$\sqrt{3}$）•$\frac{1}{2}$，解方程求出m，即可解决问题．
（3）根据（1）容易得到∠OAE=60°，然后在中根据直角三角形30°，所对的直角边等于斜边的一半可以得到AE=2，从而得到E的坐标是固定的．

解答解：（1）△OBC≌△ABD，
理由：∵△AOB是等边三角形，
∴OB=AB，∠OBA=∠OAB=60°，
又∵△CBD是等边三角形
∴BC=BD，∠CBD=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=AB}\\{∠OBC=∠ABD}\\{BC=BD}\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△ABD（SAS）．

（2）设P（0，m），延长AB交y轴于F，
在Rt△OAF中，∵OA=1，∠AFO=30°，
∴OF=$\sqrt{3}$OA=$\sqrt{3}$，
∵S_△PAB=S_△PAF-S_△PBF，
∴2=$\frac{1}{2}$（m+$\sqrt{3}$）•1-$\frac{1}{2}$（m+$\sqrt{3}$）•$\frac{1}{2}$，
∴m=8-$\sqrt{3}$，
∴点P坐标为（0，8-$\sqrt{3}$），
根据对称性，P关于点F的对称点P′也满足条件，P′（0，-8-$\sqrt{3}$），
综上所述，满足条件的点P坐标为（0，8-$\sqrt{3}$）或（0，-8-$\sqrt{3}$）．

（3）∵△OBC≌△ABD，
∵∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠OAB=60°，
∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°，
∴Rt△OEA中，
∵∠OAE=60°，
∴∠AEO=30°，
∴AE=2OA=2，
∴OE=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{1}}$=$\sqrt{3}$，
∴点E的位置不会发生变化，E的坐标为E（0，$\sqrt{3}$）．

点评本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用分割法求三角形面积，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．

练习册系列答案

相关题目

3．

如图，已知AB∥CD，欲证明△AOB≌△COD，可补充条件AB=CD或OA=OC或OB=OD．（填写一个适合的条件即可）

4．先化简，再求值：
（1）3x-4x²+7-3x+2x²+1，其中x=-3．
（2）3x²y-[2x²y-3（2xy-x²y）-xy]，其中x=-1，y=-2．

1．

如图，在数轴上原点O表示的数是0，B点表示的数是m，A表示的数是n，且（m+4）²+|n-8|=0．
（1）点C是线段AB的中点，求线段CO的长；
（2）若动点P从点B出发，沿数轴向左运动，同时动点Q从点A出发，沿数轴向左运动，P与Q的速度比是1：3，设P点运动的时间为t秒，若t=13时，线段PQ的长为14个单位长度，求P、Q两动点的速度；
（3）在（2）的条件下，在P、Q开始运动时，同时动点N从原点出发，以每秒$\frac{4}{3}$个单位长度的速度沿数轴向左运动，求t为何值时，PQ=2NQ，并直接写出此时点N所表示的数．

8．

如图，在平面直角坐标系中，△OA₀A₁，△OA₁A₂，△OA₂A₃，△OA₃A₄…都是等腰直角三角形，点A₀（1，0），A₁（1，1），A₂（0，2），A₃（-2，2），A₄（-4，0），…，则依图中所示规律，A₂₀₁₅的坐标为（2¹⁰⁰⁷，2¹⁰⁰⁷）．

18．在△ABC中，∠BAC=90°，射线AM∥BC，点D在射线AM上（不与点A重合），连接BD，过点D作BD的垂线交CA的延长线于点P
（1）如图①，若∠C=30°，且AB=DB，求∠APD的度数；
（2）如图②，若∠C=45°，当点D在射线AM上运动时，PD与BD之间有怎样的数量关系？请写出你的结论，并加以证明；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接BP，设BP与射线AM的交点为Q，∠AQP=α，∠APD=β，当点D在射线AM上运动时，α与β之间有怎样的数量关系？请写出你的结论，并加以证明．

5．要使分式$\frac{x+1}{x-2}$有意义，则x应满足（　　）

2．下列在平面直角坐标系的图形不能表示y是x的函数的是（　　）

	A．	一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数
	B．	没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数
	C．	有理数的绝对值一定是正数
	D．	如果\|a\|=-a，那么a≤0

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