题目内容

【题目】如图1,点C将线段AB分成部分,如果,那么称点C为线段AB的黄金分割点。某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1,S2,如果,那么称直线l为该图形的黄金分割线。

(1)研究小组猜想:在△ABC中,若点D为AB边上的黄金分割点(如图2),则直线CD是△ABC的黄金分割线。你认为对吗?为什么?

(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线?

(3)研究小组在进一步探究中发现:过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DF∥CE,交AC于点F,连接EF(如图3),则直线EF也是△ABC的黄金分割线。请说明理由。

(4)如图4,点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点,过点E作EF∥AD,交DC于点F,显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线,请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线,使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点.

【答案】(1)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由见解析;(2)三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线.理由见解析;(3)理由见解析;(4)作图见解析.

【解析】试题分析:(1)若点DAB边上的黄金分割点,则有.如果设ABC的边AB上的高为h,根据三角形的面积公式,易得 ,即有,根据图形的黄金分割线的定义即可判断;

2由于等底同高的两个三角形的面积相等,所以三角形任意一边上的中线都将三角形分成面积相等的两部分,即有s1s2s,则,从而可知三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线;

3)由于直线CDABC的黄金分割线,所以.要想说明直线EF也是ABC的黄金分割线,只需证明,即证SADC=SAEFSBDC=S四边形BEFC即可.因为DFCE,所以DFCDFE的公共边DF上的高也相等,所以有SDFC=SDFE,所以SADC=SADF+SDFC=SADF+SDFE=SAEFSBDC=S四边形BEFC

4)根据黄金分割线的定义即可作出.本题答案不唯一,作法有无数种.

试题解析:1)直线CDABC的黄金分割线.理由如下:

ABC的边AB上的高为h

SADCADhSBDCBDhSABCABh

又∵点D为边AB的黄金分割点,

故直线CDABC的黄金分割线.

2∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,

s1s2s,则

故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线.

3DFCE

∴△DFCDFE的公共边DF上的高也相等,

SDFC=SDFE

SADC=SADF+SDFC=SADF+SDFE=SAEFSBDC=S四边形BEFC

又∵.,

因此,直线EF也是ABC的黄金分割线.

4)画法不惟一,现提供两种画法;

画法一如答图1,取EF的中点G,再过点G作一条直线分别交ABDCMN点,则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线.

画法二:如答图2,在DF上取一点N,连接EN,再过点FFMNEAB于点M,连接MN,则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线.

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