Question

已知，抛物线y=ax²-2ax-3与x轴交于A（-1，0）和B两点，与y轴交于点C，其顶点为M．
（1）求a的值和M的坐标；
（2）将抛物线平移，使其顶点在射线CB上，且A点的对应点为A′，若S_△A'AC=9，求平移后的抛物线的解析式；
（3）如图2，将原抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方得到新图象，当直线y=kx-2k+5与新图象有三个公共点时，求k的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）将点A（-1，0）代入抛物线解析式，可得出a的值，由抛物线解析式可确定顶点M的坐标；
（2）求得直线BC的解析式为y=x-3，设平移后顶点坐标为（b，b-3），由平移前顶点坐标为（1，-4），可得抛物线向右平移了（b-1）个单位，向上平移了（b+1）个单位，从而可得A'坐标为（b-2，b-3），求出直线A'C的解析式，设直线A'C与x轴的交点为D，则可得点D的坐标，由S_△A'AC=9，求出b的值，确定顶点坐标，继而得出平移后抛物线解析式；
（3）y=kx-2k+5=k（x-2）+5，可得直线经过定点（2，5），画出图形，分别找到两个极限位置，求出k的值，继而得出k的取值范围．

解答：解：（1）将点A（-1，0）代入抛物线解析式可得：0=a+2a-3，
解得：a=1，
抛物线解析式为：y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
顶点M的坐标为（1，-4）；

（2）由抛物线解析式为：y=x²-2x-3，可得点A（-1，0），点B（3，0），点C（0，-3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将B、C的坐标代入可得：

3k-3=0 b=-3

，
解得：

k=1 b=-3

，
故直线BC的解析式为：y=x-3，
设平移后抛物线的顶点为（b，b-3），
∵平移前顶点坐标为（1，-4），
∴抛物线向右平移了（b-1）个单位，向上平移了（b+1）个单位，
∴点A平移后A'的坐标为（b-2，b-3），
设直线A'C的解析式为y=mx+n，
将点A'、C的坐标代入可得：

(b-2)m+n=b-3 n=-3

，
解得：

m= b b-2 n=-3

，
则直线A'C的解析式为：y=

b

b-2

x-3，
设直线A'C与x轴的交点为D，则点D的坐标为（

3b-6

b

，0），

S_△A'AC=S_△A'AD+S_△ADC=

1

2

AD×（点A'纵坐标-点C纵坐标）=

1

2

（

3b-6

b

+1）×b=9，
解得：b=6，
故平移后顶点坐标为（6，3），
则可得平移后抛物线解析式为：y=（x-6）²+3．

（3）∵y=kx-2k+5=k（x-2）+5，
∴直线y=kx-2k+5经过定点N（2，5），

要使直线y=kx-2k+5与新图象有三个公共点，则可得到如图所示的两个极限位置，
①直线经过A、N，此时将点A（-1，0）代入可得：0=-k-2k+5，
解得：k=

5

3

；
②直线经过点N与抛物线相切时，此时抛物线解析式为：y=-（x²-2x-3）=-x²+2x+3，
联立抛物线与直线解析式可得：-x²+2x+3=kx-2k+5，
整理可得：x²+（k-2）x-2k+2=0，
△=（k-2）²-4（-2k+2）=0，
解得：k=-2±2

2

，
由函数图象，可得k＞0，
∴k=-2+2

2

，
综上可得：直线y=kx-2k+5与新图象有三个公共点时，-2+2

2

≤k≤

5

3

．

点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求抛物线解析式，抛物线的几何变换，一次函数与抛物线的交点问题，后两问难度较大，解答本题要求同学们有扎实的基本功，注意数形结合思想的运用．