题目内容
如图，在平面直角坐标系中，点C（-4，0），点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，线段OA、OB的长度都是方程x2-3x+2=0的解，且OB＞OA．若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连结AP．
（1）判断三角形ABC的形状并求出△AOP的面积S关于点P的运动时间t秒的函数关系式．
（2）在点P的运动过程中，利用备用图1探究，求△AOP周长最短时点P运动的时间．
（3）在点P的运动过程中，利用备用图2探究，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）判断三角形ABC的形状并求出△AOP的面积S关于点P的运动时间t秒的函数关系式．
（2）在点P的运动过程中，利用备用图1探究，求△AOP周长最短时点P运动的时间．
（3）在点P的运动过程中，利用备用图2探究，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：相似形综合题
专题：
分析：（1）先解方程x2-3x+2=0，得出AO=1，0B=2，再由OB2=OA•OC=4，即
=
，又∠AOB=∠BOC=90°，得到△AOB∽△BOC，则∠ABO=∠BCO，证明∠ABC=90°，判断出△ABC为直角三角形．作PD⊥AC于D．由PD∥OB，得出△CDP∽△COB，根据相似三角形对应边成比例求出PD=
，然后根据S△AOP=
OA•PD即可得到△AOP的面积S关于点P的运动时间t秒的函数关系式；
（2）由于OA=1为定值，所以OP+AP最小时，△AOP周长最短．由（1）知∠ABC=90°，那么延长AB至点A′，使BA′=AB，则A′与A关于BC对称，连结A′O，交BC于点P，此时△AOP周长最短．求出OA′的解析式，与直线BC的解析式联立组成方程组，解方程组求出P点坐标，进而得到点P运动的时间；
（3）由于∠ABP=∠AOB=90°，所以分两种情况进行讨论：①当
=
时，△ABP∽△AOB；②当
=
时，△ABP∽△BOA，分别求出BP的长，再分点P在线段BC与线段CB的延长线上确定点P的坐标．
| OA |
| OB |
| OB |
| OC |
| ||
| 5 |
| 1 |
| 2 |
（2）由于OA=1为定值，所以OP+AP最小时，△AOP周长最短．由（1）知∠ABC=90°，那么延长AB至点A′，使BA′=AB，则A′与A关于BC对称，连结A′O，交BC于点P，此时△AOP周长最短．求出OA′的解析式，与直线BC的解析式联立组成方程组，解方程组求出P点坐标，进而得到点P运动的时间；
（3）由于∠ABP=∠AOB=90°，所以分两种情况进行讨论：①当
| BP |
| OB |
| AB |
| OA |
| BP |
| OA |
| AB |
| OB |
解答：解：（1）∵x2-3x+2=0，
∴（x-1）（x-2）=0，
∴x1=1，x2=2，
∴AO=1，0B=2．
∵OC=4，
∴OB2=OA•OC=4，
∴
=
，
又∵∠AOB=∠BOC=90°，
∴△AOB∽△BOC，
∴∠ABO=∠BCO，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC为直角三角形．
如图，作PD⊥AC于D．
∵PC=t，PD∥OB，
∴△CDP∽△COB，
∴
=
，
∴PD=
=
=
，
∴S△AOP=
OA•PD=
×1×
=
t，
即S=
t；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵B（0，2），C（-4，0），
∴
，解得
，
∴y=
x+2．
延长AB至点A′，使BA′=AB，连结A′O，交BC于点P，此时△AOP周长最短．
∵A′与A关于BC对称，
∴B是AA′的中点，
∵B（0，2），A（1，0），
∴A′（-1，4）．
易求OA′的解析式为y=-4x，
由
，解得：
，
∵S=
×1×
=
，
∴
t=
，
∴t=
；
（3）在点P的运动过程中，存在点P，能够使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似．
分两种情况：
①当
=
时，△ABP∽△AOB，
则
=
，解得BP=2
．
如果点P在线段BC上，那么CP=BC-BP=2
-2
=0，此时P点与C点重合，即P1（-4，0）；
如果点P在线段CB的延长线上，那么CP=CB+BP=2
+2
=4
，易求P2（4，4）；
②当
=
时，△ABP∽△BOA，
则
=
，解得BP=
．
如果点P在线段BC上，易求P3（-1，
），
如果点P在线段CB的延长线上，易求P4（1，
）．
综上所述，所求P点坐标为P1（-4，0），P2（4，4），P3（-1，
），P4（1，
）．
∴（x-1）（x-2）=0，
∴x1=1，x2=2，
∴AO=1，0B=2．
∵OC=4，
∴OB2=OA•OC=4，
∴
| OA |
| OB |
| OB |
| OC |
又∵∠AOB=∠BOC=90°，
∴△AOB∽△BOC，
∴∠ABO=∠BCO，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC为直角三角形．
如图，作PD⊥AC于D．
∵PC=t，PD∥OB，
∴△CDP∽△COB，
∴
| PD |
| OB |
| CP |
| CB |
∴PD=
| OB•CP |
| CB |
| 2t | ||
2
|
| ||
| 5 |
∴S△AOP=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 5 |
| ||
| 10 |
即S=
| ||
| 10 |
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（-4，0），
∴
|
|
∴y=
| 1 |
| 2 |
延长AB至点A′，使BA′=AB，连结A′O，交BC于点P，此时△AOP周长最短．
∵A′与A关于BC对称，
∴B是AA′的中点，
∵B（0，2），A（1，0），
∴A′（-1，4）．
易求OA′的解析式为y=-4x，
由
|
|
∵S=
| 1 |
| 2 |
| 16 |
| 9 |
| 8 |
| 9 |
∴
| ||
| 10 |
| 8 |
| 9 |
∴t=
16
| ||
| 9 |
（3）在点P的运动过程中，存在点P，能够使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似．分两种情况：
①当
| BP |
| OB |
| AB |
| OA |
则
| BP |
| 2 |
| ||
| 1 |
| 5 |
如果点P在线段BC上，那么CP=BC-BP=2
| 5 |
| 5 |
如果点P在线段CB的延长线上，那么CP=CB+BP=2
| 5 |
| 5 |
| 5 |
②当
| BP |
| OA |
| AB |
| OB |
则
| BP |
| 1 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
如果点P在线段BC上，易求P3（-1，
| 3 |
| 2 |
如果点P在线段CB的延长线上，易求P4（1，
| 5 |
| 2 |
综上所述，所求P点坐标为P1（-4，0），P2（4，4），P3（-1，
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
点评：本题考查了一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，运用待定系数法求一次函数的解析式，轴对称的性质，两函数交点坐标的求法等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合及分类讨论是解题的关键．
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