Question

如图，点C是圆O的直径AB延长线上一点，点D在圆O上，且BC=BD=OB，E是劣弧AD上一点，BE交
AD于F．
（1）求证：CD是圆O的切线；
（2）若△DEF的面积为12，cos∠BFD=

2

3

，求△ABF的面积．

Answer 1

分析：（1）首先连接OD，由BC=BD=OB，即可判定△OBD是等边三角形，然后利用等边三角形与等腰三角形的性质，即可求得∠ODB=60°，∠BDC=30°，则可证得CD是圆O的切线；
（2）由AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，又由cos∠BFD=

2

3

，即可得DF：BF=2：3，然后判定△DEF∽△BAF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABF的面积．

解答：（1）证明：连接OD，
∵BD=OB，OD=OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠DBO=∠ODB=60°，
∵BC=BD，
∴∠CDB=∠DCB，
∵∠DBO=∠BDC+∠BCD，
∴∠C=∠CDB=30°，
∴∠ODC=∠ODB+∠BDC=90°，
即OD⊥CD，
∵点D在圆O上，
∴CD是圆O的切线；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴cos∠BFD=

DF

BF

=

2

3

，
∵∠E=∠A，∠EFD=∠AFB，
∴△DEF∽△BAF，
∴

S△DEF

S△BAF

=(

DF

BF

)2=

4

9

，
∵S_△DEF=12，
∴△ABF的面积为27．

点评：此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义以及相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用．